Глава III. Нелинейные восприимчивости
§14. Нелинейная связь между поляризацией и электрическим полем
Средний
(макроскопический) дипольный момент
единицы объема вещества (поляризация)
определяет многие электродинамические
(в том числе и оптические) свойства
среды. В немагнитных диэлектриках
поляризация вещества
зависит от конкретных параметров среды,
на которую воздействует внешнее поле
.
Даже в статическом поле
как функция
может быть довольно сложной (например,
в сегнетоэлектриках
[2]). Однако
в большинстве случаев для относительно
простых диэлектриков наведенная в среде
поляризация представляется в виде ряда
по степеням поля:
(14.1)
Первое
слагаемое описывает линейные свойства
вещества, а
- линейная
восприимчивость.
Для относительно слабых электрических
полей достаточно учитывать лишь этот
первый член, и в таком случае можно
определить диэлектрическую постоянную
.
(14.2)
Слагаемые
и
описывают нелинейные свойства вещества.
Они представляют собой вклад в нелинейную
поляризацию, а коэффициенты
и
называются нелинейными
восприимчивостями.
Разложение в ряд по степеням поля (14.1)
возможно в том случае, если существует
малый параметр, например, если величина
внешнего поля значительно меньше величин
характерных электрических полей в
веществе: внутриатомных полей, величины
пробойного поля в полупроводнике и
диэлектрике и др.
В
переменном электрическом поле, в том
числе и в световой волне, существенным
становится эффект запаздывания:
поляризация в определенный момент
времени зависит не только от электрического
поля в этот же момент, но и от полей в
предыдущие моменты времени. Следовательно,
поляризация
есть функционал от поля
.
Однако для слабых полей в указанном
выше смысле такой функционал тоже можно
представить в виде ряда (14.1). Необходимо
лишь правильно учесть периодический
характер электромагнитных волн. Это
особенно просто сделать для линейной
поляризации. Действительно, стационарная
монохроматическая волна частоты
и амплитуды
индуцируют в веществе волну поляризации
той же частоты и амплитуды
,
так что в линейном приближении имеем
,
(14.3)
то
есть точно такую же зависимость, как и
в статическом поле, с той лишь разницей,
что линейная восприимчивость теперь
является функцией частоты
,
причем согласно (13.2) она определяет
зависящую от частоты диэлектрическую
проницаемость
.
Для того чтобы определить поляризацию от всех монохроматических волн в определенный момент времени, достаточно составить сумму
,
(14.4)
где
суммирование ведется по положительным
и отрицательным частотам волн,
распространяющихся в веществе. Для
волнового “пакета”
есть фурье-компонента от переменного
электрического поля
,
задаваемого выражением
,
и в этом случае в (14.4) необходимо суммирование заменить соответствующим интегрированием, а именно:
По
мере увеличения амплитуды электрического
поля становится важным взаимодействие
волн друг с другом, и принцип суперпозиции
оптики нарушается. Вид нелинейной
зависимости (14.1) подсказывает, что
наведенная в среде нелинейная поляризация
при распространении двух волн с частотами
и
и амплитудами
и
должна иметь вид
.
(14.5)
В
данном случае волна поляризации возникает
на частоте
,
естественно, такая же волна может
возникнуть и на частоте
.
Если в веществе распространяются
несколько волн, то необходимо составить
между ними всевозможные парные комбинации
типа (14.5) и затем сложить, так что
окончательно получим
,
(14.6)
где суммирование ведется по всем положительным и отрицательным частотам.
Для волновых “пакетов” сумму надо заменить на соответствующий интеграл.
С
квантово-механической точки зрения,
такой процесс взаимодействия означает
“уничтожение” двух квантов
и
и “рождение” кванта
.
Аналогично (14.6) определяют нелинейную восприимчивость третьего порядка
(14.7)
и последующих – четвертого, пятого и т.д.
До сих пор мы предполагали (для простоты анализа), что направления полей и поляризации одинаковы, и учет их в анизотропных средах становится весьма существенным. В этом случае каждая из величин , и обозначает тензоры соответствующих порядков:
.
(14.8)
Число
отличных от нуля компонент тензоров
;
;
;
… определяется исключительно точечной
группой симметрии кристалла, причем в
этом смысле они полностью соответствуют
пьезоэлектрическим тензорам
[2],
например в кристаллах с центром инверсии
.