§ 13. Самофокусировка и самоканализация
В §10 было показано, что при определенных условиях волна может быть устойчива относительно продольных возмущений и неустойчива относительно поперечных. В этом случае плоская волна распадается на отдельные пучки лучей, которые продолжают стягиваться в узкие каналы за счет явления самофокусировки. Дифракционная расходимость противодействует самофокусировке, так что возможна стабилизация формы волны в поперечном направлении. Возникает устойчивый, волноводный характер распространения электромагнитной волны, то есть явление самоканализации. Опишем подробнее этот процесс.
Для начала рассмотрим простейшую модель, в которой волна изменяется вдоль одного поперечного направления и остается устойчивой плоской волной вдоль другого поперечного и вдоль продольного направлений распространения (плоский случай). Будем искать решение для амплитуды волны в виде
.
(13.1)
Подставим (13.1) в нелинейное параболическое уравнение (11.1) и получим
.
(13.2)
Сравнение
(13.2) и (12.2) показывает полную аналогию
плоской самоканализации и продольного
самосжатия. Во всех формулах предыдущего
параграфа необходимо сделать замену
.
Для амплитуды
получим решение
,
(13.3)
При
этом
.
Форма плоского канала совпадает с формой
солитона.
Обратимся теперь к аксиально-симметричному случаю. Будем искать решение для амплитуды волны в виде
,
(13.4)
где
амплитуда
удовлетворяет уравнению
.
(13.5)
В полярных координатах
.
Для
аксиально-симметричного случая (
)
удобно ввести новую переменную
,
так что уравнение (13.5) примет вид
,
(13.6)
где
точки над буквой означают дифференцирование
по переменной времени. Легко видеть,
что уравнение (13.6) представляет собой
классическое уравнение Ньютона для
материальной точки единичной массы в
потенциальном поле вида (12.4) и с учетом
силы трения
.
Так называемая “механическая” энергия
такой системы не сохраняется, а “скорость”
ее изменения согласно определениям
(12.5) и (12.6) и уравнению (13.6) выражается
формулой
.
Рис.6. Поперечный разрез волноводного характера распространения волны в нелинейной среде (самофокусировка)
Формирование
канала в рассматриваемом случае будет
соответствовать движению материальной
точки в потенциальном поле, показанном
на рис.5.
Уменьшение величины поля по мере удаления
по оси канала (
при
)
означает, что конечной точкой при
движении должна быть точка неустойчивого
равновесия
,
а положения 2, 3 и 4 соответствуют амплитуде
по оси канала. Избыток потенциальной
энергии должен пойти на потери по
преодолению “трения” (рис.6). Точка 2
соответствует одному колебанию, точка
3 – двум колебаниям (первому проходу
через точку A=0),
точка 4 – трем и.т.д. Это означает, что
распределение амплитуды по поперечному
сечению канала будет выглядеть, как на
рис.6.