Задачі для самостійного розв’язування

1. Тіло кинули під кутом до горизонту. Знайти тангенціальне і нормальне прискорення у початковий момент часу.

Відповідь: .

2. Під яким кутом до горизонту треба кинути кульку, щоб радіус кривини початку її траєкторії був у разів більший, ніж у вершині?

Відповідь: .

3. Тіло кинули з поверхні Землі під кутом до горизонту з початковою швидкістю . Нехтуючи опором повітря, знайти максимальну висоту підйому і горизонтальну дальність польоту ; при якому значенні кута вони дорівнюватимуть одне одному.

Відповідь: .

Приклад 8

Камінь кинули горизонтально із швидкістю . Знайти радіус кривини траєкторії каменя R через с після початку руху.

Розв’язання:

Перший спосіб.

Радіус кривини можна знайти з виразу для нормального прискорення

. (8.1)

Звідси:

. (8.2)

Проекція сили тяжіння на вісь х дорівнює нулю, тому рух у цьому напрямі є рівномірним і . У напрямі осі у діє сила тяжіння, яка надає каменю прискорення вільного падіння . Тому .

,

, (8.3)

.

Оскільки повне прискорення дорівнює , то . З рис. 8.1 випливає, що

, (8.5)

. (8.6)

Після підстановки (8.6) у (8.5) здобудемо:

. (8.7)

Підставимо (8.3) і (8.7) у (8.2 ). Тоді радіус кривини траєкторії каменя

. (8.8)

Підставивши числові значення величин у формулу (8.8), дістанемо:

.

Другий спосіб.

Можна іншим чином знайти нормальне прискорення:

.

Оскільки тангенціальне прискорення

.

Тоді нормальне прискорення

А радіус кривини

.

Приклад 9

Колесо обертається навколо нерухомої осі так, що кут його повороту залежить від часу як , де . Знайти повне прискорення a точки на ободі колеса на момент , якщо швидкість точки на цей момент .

Розв’язання:

Повне прискорення

, (9.1)

де – тангенціальне прискорення, – нормальне прискорення точки. Модуль тангенціального прискорення

, (9.2)

де – кутове прискорення обертання колеса, R – радіус кола, яке описує точка при обертанні. Модуль нормального прискорення

. (9.3)

Кутове прискорення

. (9.4)

З формули (9.4) бачимо, що кутове прискорення, а отож, і тангенціальне (9.2) являють собою сталі величини. Тоді лінійна швидкість точки залежить від часу як

.

Отже

, (9.5)

а радіус кола з урахуванням формул (9.4) і (9.5)

. (9.6)

Підставивши здобуте значення з формули (9.6) у вираз (9.3), знайдемо нормальне прискорення

. (9.7)

Після підстановки здобутих виразів (9.5) для тангенціального та (9.7) для нормального прискорень у формулу (9.1) знайдемо повне прискорення:

. (9.8)

Підставивши числові значення у формулу (9.8), дістанемо:

.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Тверде тіло починає обертатися навколо нерухомої осі за законом , де . Знайти:

   1. середні значення кутової швидкості й кутового прискорення за проміжок часу від до зупинки;

   2. кутове прискорення на момент зупинки тіла.

Відповідь: а) ;

b) .

2. Тверде тіло починає обертатися навколо нерухомої осі з кутовим прискоренням , де . За який час після початку обертання вектор повного прискорення довільної точки тіла утворюватиме кут з її вектором швидкості?

Відповідь: .