3. Основи кінематики

Кінематика – це розділ механіки, де вивчаються способи опису рухів незалежно від причин, які обумовлюють ці рухи.

3.1. Кінематика точки

Існують векторний і координатний способи опису руху точки.

Радіус-вектор точки:

,

де – координати (компоненти) радіуса-вектора.

Кінематичні рівнняння точки:

Швидкість точки:

,

де – приріст радіуса-вектора за час , – середній вектор швидкості за час .

Модуль вектора швидкості:

,

де – шлях.

Прискорення точки:

.

Модуль вектора прискорення:

Тангенціальне прискорення точки:

,

де – модуль вектора швидкості, – одиничний вектор, зв’язаний з точкою, що рухається, і напрямлений по дотичній до траєкторії в бік зростання дугової координати l.

Модуль тангенціального прискорення (модуль складової вектора вздовж вектора ):

.

Нормальне прискорення точки:

,

де R – радіус кривини траєкторії, – орт нормалі до траєкторії, напрямлений до центру кривини.

Модуль нормального прискорення (модуль складової вектора прискорення вздовж вектора ):

.

Повне прискорення точки:

.

Модуль повного прискорення точки:

.

3.2. Кінематика обертального руху

Кутова швидкість:

,

де – кут повороту за проміжок часу .

Модуль кутової швидкості:

.

Вектори і – аксіальні вектори. Домовилися вважати їх напрямленими так, щоб з кінця вектора обертання здавалося б таким, що відбувається проти руху годинникової стрілки.

Линійна швидкість точки зв’язана з кутовою таким співвідношенням:

, ,

де – радіус кола, яке описує точка, що рухається.

У разі рівномірного обертання

,

де Т – період обертання, n – частота обертання.

Кутове прискорення:

.

Кутове прискорення зв’язане з лінійними таким чином:

.

Їхні модулі:

.

3.3. Приклади розв’язування задач з кінематики

Приклад 1

Радіус-вектор частинки змінюється з часом t за законом

де – сталий вектор, – додатна стала. Знайти:

1) швидкість та прискорення частинки в залежності від часу;

2) проміжок часу , за який частинка повернеться у вихідну точку, а також шлях , який вона пройде при цьому.

Розв’язання:

1) Оскільки – сталий вектор, рух частинки є прямолінійним. Оберемо вісь такою, що збігається за напрямом з вектором , тобто

,

тоді

. (1.1)

Проекція швидкості на вісь х:

. (1.2)

Вектор швидкості:

. (1.3)

Проекція прискорення на вісь х:

. (1.4)

Вектор прискорення:

. (1.5)

Оскільки , то . Рух частинки (матеріальної точки) є сповільненим.

2) Оскільки , то і , тобто

звідси випливає, що проміжок часу, за який частинка повернеться у вихідну точку, .

Шлях і координата до моменту зупинки збігаються. Починаючи з моменту зупинки, координата частинки спадає, а шлях продовжує зростати. Отже, шлях складається з двох відрізків: – шляху, який частинка пройшла до зупинки, та – шляху, який частинка пройшла з моменту зупинки до повернення у вихідну точку. На момент зупинки швидкість дорівнює нулю. Підставивши у (1.2), , дістанемо:

. (1.6)

Звідси випливає, що . Підставивши це значення у (1.1), дістанемо:

.

Шлях, який частинка пройшла до зупинки, , оскільки .

.

Шлях, який проходить частинка за проміжок часу :

(1.7)