4.5. Приклади розв’язування задач з динаміки твердого тіла

Приклад 1

Матеріальну точку (частинку) маси кинули під кутом до горизонту з початковою швидкістю . Траєкторія польоту частинки лежить у площині ху (Рис. 1.1. Вісь z напрямлена «на нас»). Нехтуючи опором повітря, знайти залежність від часу:

1. моменту сили, яка діє на частинку;

2. моменту імпульсу частинки .

Обидва моменти беруться відносно точки киданння.

Розв’язання:

Момент сили відносно точки 0:

, (1.1)

де – радіус-вектор, проведений з точки 0 в точку прикладання сили. Векторний добуток можна подати у вигляді визначника

. (1.2)

Проекції радіуса-вектора (Див. Приклад 7. Частина 1. Кінематика):

(1.3)

Проекції сили:

. (1.4)

Підставимо співвідношення (1.3) та (1.4) у (1.2)

.

Вектор напрямлений «від нас» перпендикулярно площині креслення.

Основний закон динаміки для тіла, яке обертається навколо нерухомої точки:

.

.

Отже

.

Вектор дорівнює:

.

Його напрям збігається з напрямом вектора .

Задачі для самостійного розв’язування

Сила з компонентами (3, 4, 5) Н прикладена до точки з координатами (4, 2, 3) м. Знайти:

1. момент сили відносно початку координат,

2. модуль вектора ,

3. момент сили відносно осі z.

Відповідь:

1) .

Приклад 2

На східчастий блок (рис 2.1) намотані у протилежних напрямах дві нитки. На кінець однієї нитки діють сталою силою , а до кінця другої нитки прикріплений тягар маси . Радіуси та блока і його момент інерції відносно осі обертання відомі. Тертя немає. Знайти кутове прискорення блока.

Розв’язання:

На тягар маси діють сила ваги та сила натягу нитки . Іхні напрями вказані на рис. 2.2. Основний закон динаміки для тягаря маси у векторному записі має вигляд:

. (2.1)

Припустімо, що тягар рухається вниз, тоді рівняння (2.1) в проекціях набуває вигляду:

. (2.2)

Основний закон динаміки для блока, що обертається навколо осі z:

. (2.3)

Оскільки нитка не ковзається, тангенціальне прискорення точок на ободі колеса дорівнює прискоренню нитки й тягаря . Тобто . І оскільки нитка є нерозтяжною, то .

З урахуванням цих співвідношень рівняння (2.2) та (2.3) набудуть вигляду:

, (2.4)

. (2.5)

Після множення рівняння (2.4) на і додавання рівнянь (2.4) й (2.5) дістанемо

. (2.6)

Кутове прискорення блока

.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Однорідний суцільний циліндр маси кг висить у горизонтальному положенні на двох намотаних на нього невагомих нитках (рис. 2.3). Циліндр відпускають без поштовху.

1. За який час циліндр опуститься на відстань см?

2. Якого натягу зазнає при опусканні циліндра кожна з ниток?

Відповідь: а) с, b) Н.

2. В установці, показаній на рис. 2.4, відомі маса однорідного суцільного циліндра , його радіус і маси тіл та . Ковзання нитки й тертя в осі циліндра немає. Знайти кутове прискорення циліндра і відношення натягів вертикальних ділянок нитки у процесі руху.

Відповідь: .

3. На горизонтальну вісь насаджені маховик і легкий шків радіуса см. На шків намотаний шнур, до якого прив’язали тягар маси кг. Опускаючись рівноприскорено, тягар пройшов шлях м за час с. Визначити момент інерції маховика. Масу шківа вважати нехтовно малою.

Відповідь: .

4. Однорідний циліндр маси кг і радіуса см в момент починає опускатися під дією сили ваги. Нехтуючи масою ниток, знайти:

   1. кутове прискорення циліндра,

   2. залежність від часу миттєвої потужності, яку розвиває сила ваги.

Відповідь: .

Приклад 3

На краю горизонтальної платформи, яка має форму диска радіуса м, стоїть людина маси кг. Маса платформи кг. Платформа може обертатися навколо вертикальної осі, яка проходить через її центр. Нехтуючи тертям, знайти:

1. з якою кутовою швидкістю обертатиметься платформа, якщо людина йтиме вздовж її краю з швидкістю відносно платформи;

2. на який кут повернеться платформа, якщо людина піде вздовж краю і, обійшовши його, вернеться у вихідну точку на платформі.

Момент інерції людини обчислювати як для матеріальної точки.

Розв’язання:

Платформа з людиною являє собою замкнену систему, тому момент імпульсу цієї системи має бути сталим. Закон збереження моменту імпульсу відносно осі z у нерухомій системі відліку має вигляд:

, (3.1)

де – момент інерції людини, – момент інерції платформи, – кутова швидкість людини відносно платформи, – кутова швидкість платформи. В рівнянні (3.1) напрям вектора збігається з додатним напрямом осі z, а вектор напрямлений у протилежний бік. Момент інерції людини (матеріальної точки):

. (3.2)

Момент інерції платформи (диска):

. (3.3)

Кутова швидкість людини відносно платформи:

. (3.4)

Підставивши (3.2), (3.3) та (3.4) в (3.1), дістанемо:

. (3.5)

З виразу (3.5) знайдемо кутову швидкість платформи:

. (3.6)

Після підстановки числових значень у формулу (3.6) дістанемо:

.

Кут, на який повернеться платформа,

. (3.7)

За той самий проміжок часу людина в системі відліку, зв’язаній з платформою, повернеться на кут

. (3.8)

Підставляємо час, знайдений з виразу (3.8), у формулу (3.7). Тоді:

. (3.9)

Виконавши обчислення за формулою (3.9), знайдемо кут

.