Задачі для самостійного розв’язування

У човні маси кг стоїть людина маси кг. Човен пливе з швидкістю . Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямі з швидкістю (відносно човна). Знайти швидкість руху човна після стрибка людини у двох випадках: 1) людина стрибає вперед за рухом човна та 2) у бік, протилежний рухові човна.

Відповідь: 1) 1 м/с; 2) 3 м/с.

Приклад 3

Частинка, яка початково перебувала в спокої, під дією сили Н, пересунулася з точки 1 з координатами (1, 2, 3) м в точку 2 з координатами (3, 2, 1) м.

1. Яка при цьому відбувається робота A?

2. Як змінилася кінетична енергія частинки?

Розв’язання:

Робота сталої сили

, (3.1)

де – переміщення частинки. У декартових координатах скалярний добуток сили на переміщення має вигляд:

. (3.2)

Після підстановки числових значень в формулу (3.2) дістанемо:

Дж.

Зміна кінетичної енергії частинки дорівнює роботі зовнішньої сили, отже,

Дж.

Тобто енергія зменшується на 10 Дж.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Частинка виконала переміщення по деякій траєкторії у площині ХY з точки 1 з радіусом-вектором м в точку 2 з радіусом-вектором м. При цьому на неї діяла сила Н. Знайти роботу, яку виконала сила .

Відповідь: Дж.

2. На матеріальну точку при її переміщенні з точки А (20; 15; 0) м в точку В (0; 0; 7) м водночас діють дві сталі сили:

Н,

Н.

Якою є робота, що виконується над матеріальною точкою?

Відповідь: Дж.

Приклад 4

Водометний двигун катера забирає воду з річки і викидає її з швидкістю відносно катера назад. Маса катера кг. Маса щосекунди викиданої води є сталою й дорівнює . Нехтуючи опором рухові катера, визначити:

1. швидкість катера через хв після початку руху;

2. якої граничної швидкості може досягти катер.

Розв’язання:

Нехай – швидкість катера у довільний момент часу . За проміжок часу катер викидає води із швидкістю відносно нерухомої системи відліку (берега річки). Якщо знехтувати масою захопленої двигуном води у порівнянні з масою катера, згідно з законом зберігання імпульсу:

. (4.1)

Оберемо вісь х таким чином, щоб її додатний напрям збігався з напрямом руху катера. Спроектуємо усі вектори на вісь й напишемо рівняння (4.1) для проекцій:

. (4.2)

Зведемо подібні, тоді рівняння (4.2) набуде вигляду:

. (4.3)

Після відокремлення змінних дістанемо

.

Виконаємо інтегрування, враховуючи, що при змінюванні часу від нуля до швидкість зростає від нуля до :

.

Після інтегрування:

.

.

Залежність швидкості від часу:

. (4.4)

З формули (4.4) випливає, що

.

Після підстановки числових значень знайдемо швидкість катера через одну хвилину:

.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Ракета рухається у відсутності зовнішніх сил, випускаючи неперервний струмінь газу із швидкістю , сталою відносно ракети. Знайти швидкість ракети на момент, коли її маса дорівнює , якщо у початковий момент вона мала масу і її швидкість дорівнювала нулю.

Відповідь: .

2. Знайти закон змінювання маси ракети з часом, якщо ракета рухається у відсутності зовнішніх сил із сталим прискоренням , швидкість витікання газу відносно ракети є сталою й дорівнює , а маса ракети у початковий момент дорівнює .

Відповідь: .

Приклад 5

Тіло маси m кинули під кутом до горизонту з початковою швидкістю . Нехтуючи опором повітря, знайти:

1. миттєву потужність , що розвивається при польоті тіла прикладеною до нього силою,

2. значення потужності у вершині траєкторії,

3. середнє значення потужності за час підйому тіла,

4. середнє значення потужності за весь час польоту (точка кидання і точка падіння містяться на одному рівні).

Розв’язання:

Миттєва потужність:

.

Оскільки на тіло діє тільки сила ваги

. (5.1)

Проекції сили ваги:

.

Рівняння (5.1) для проекцій має вигляд:

. (5.2)

Проекція швидкості на вісь Y, як випливає з рис. 5.1:

.

Тоді залежність миттєвої потужності від часу (вираз (5.1) ) набуває вигляду:

. (5.3)

У верхній точці траєкторії , і .

Середнє значення потужності за час підйому

, (5.4)

де – середнє значення за час підйому. Оскільки змінюється лінійно

. (5.5)

Підставивши (5.5) у (5.4), дістанемо:

.

Час падання дорівнює часові підйому. Середнє значення проекції швидкості за весь час польоту дорівнює нулю, і середнє значення потужності за весь час польоту .