Расчет трехфазных цепей Соединение в звезду Алгоритм решения задач

1.Обозначить на схеме все токи и напряжения.

2.Определить фазные напряжения генератора.

3.Определить комплексные фазные сопротивления потребителя энергии.

4.Определить напряжение смещения нейтрали.

U_A Ya + U_B Yb + U_C Yc

U_N n = ———————————

Ya + Yb + Yc + Y_N

Если нагрузка симметричная ( Za = Zb = Zc ) или есть нейтральный провод, сопротивление которого равно нулю, то U_N n = 0.

5. Определить фазные напряжения потребителя энергии.

Ua = U_A - U_N n

Ub = U_B - U_N n

Uc = U_C - U_N n

6.Определить линейные токи.

I_A = Ua / Za; I_B = Ub / Zb; I_C = Uc / Zc

7.Определить ток в нейтрале.

I_N = I_A + I_B + I_C

8.Проверить результат по уравнению баланса мощностей.

∑ Sист = ∑ Sпотр

∑ Sист = S_A + S_B + S_C = U_A IA^* + U_B IB^* + U_C IC^*

∑ Sпотр = P + jQ

P = Ra IA² + Rb IB² + Rc IC²

Q = ± Xa IA² ± Xb IB² ± X_С IC²

(+) – для индуктивного сопротивления XL

(--) – для емкостного сопротивдения Xc

S = √ P² + Q²

9. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Задача.

Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений.

1.Обозначакм на схеме все токи и напряжения.

2.Определяем фазные напряжения генератора.

Uф =Uл / √3 = 380 / √3 = 220 B

UA = 220 B; UB = 220 e ^{– j120º} B; UC = 220 e ^j120º B

Представим эти напряжения в алгебраической форме записи.

UA = 220 B;

UB = ( 220 cos120º - j220 sin120º ) = -110 – j190 B;

UC = ( 220 cos120º + j220 sin120º ) = -110 + j190 B

3.Определяем фазные сопротивления потребителя энергии.

Za = R + j XL = 4 + j3 Ом; Za = √ 4² + 3² e ^j37º = 5 e ^j37º Ом;

Zb = R - j XC = 4 - j3 Ом; Zb = √ 4² + 3² e ^{- j37º} = 5 e ^{- j37º} Ом;

Zc = j XL = j3 = 3 e ^j90º Ом

4.Определяем напряжение смещения нейтрали.

U_A Ya + U_B Yb + U_C Yc

U_N n = ———————————

Ya + Yb + Yc + Y_N

Комплексные фазные проводимости

1 1 4 - j3 4 - j3

Ya = — = ———— = ———————— = ——— = 0,16 – j0,12 См;

Za 4 + j3 ( 4 + j3)( 4 - j3) 25

1 1 4 + j3 4 + j3

Yb = — = ———— = ———————— = ——— = 0,16 – j0,12 См;

Zb 4 - j3 ( 4 - j3)( 4 + j3) 25

1 1

Yc = — = —— = – j0,33 См;

Zc j3

Y_N =О

220 ( 0,16 – j0,12 ) + ( -110 – j190 )( 0,16 + j0,12 ) + ( -110 + j190 )( -j0,33)

U_N n = ——————————————————————————————————— =

0,16 – j0,12 + 0,16 + j0,12 – j0,33

( 103,1 – j33,7 )( 0,32 + j0,33 ) 44,1 + j23,2

= ——————————————— = —————— = 210 + j110 B;

( 0,32 – j0,33 )( 0,32 + j0,33 ) 0,21

Представим напряжение смещения нейтрали в показательной форме записи.

U_N n = √ 210² + 110² e ^{jarctg110 / 210} = 237 e ^j27,6º B

5. Определим фазные напряжения потребителя энергии. Ua = U_A - U_N n = 220 – 210 – j110 = 10 – j110 B;

Ub = U_B - U_N n = -110 – j190 – 210 – j110 = -320 – j300 B;

Uc = U_C - U_N n= -110 + j190 – 210 – j110 = -320 + j80 B;

Действующие значения этих напряжений.

Ua = √ 10² + 110² = 110,5 B;

Ub = √ 320² + 300² = 438,6 B;

Uc = √ 320² + 80² = 330 B

Так как нагрузка несимметричная и отсутствует нейтральный провод, фазные напряжения – разные.

6.Определим линейные токи.

Ua ( 10 – j110 )( 4 – j3 )

I_A = —— = —————————— = -11,6 – j18,8 A;

Za ( 4 + j3 )( 4 – j3 )

Ub ( -320 – j300 )( 4 + j3 )

I_B = —— = —————————— = -15,2 – j86,4 A;

Zb ( 4 - j3 )( 4 + j3 )

Uc ( -320 + j80 )( - j3 )

I_C = —— = —————————— = 26,7 + j106,4 A

Zc ( j3 )(- j3 )

Действующие значения этих токов.

I_A = √ 116² + 18,8² = 22 A;

I_B = √ 15,2² + 86,4² = 87,7 A;

I_C = √ 26,7² + 106,7² = 110 A

7.Проверяем наличие тока в нейтрале.

I_N = I_A + I_B + I_C = -11,6 – j18,8 – 15,2 – j86,4 + 26,7 + j106,4 = 0

8.Проверим результат по уравнению баланса мощностей.

∑ Sист = S_A + S_B + S_C = U_A IA^* + U_B IB^* + U_C IC^* = 220 ( -11,6 + j18,8 ) +

+ ( -110 – j190 )( -15,2 + j86,4 ) + ( -119 + j190 )( 26,7 – j106,7 ) =

= 32,8 + j14,3 кВА;

Pпотр = Ra IA² + Rb IB² = 4٠22² + 4٠87,7² = 32,7 кВт;

Qпотр = + X_L IA² - Xc IB² + X_L IC² = 3٠22² - 3٠87,7² + 3٠110² = 14,6 кВАр;

Sпотр = √ P² + Q² = 35,8 кВА;

∑ Sпотр = P + jQ = 32,7 + j14,6 кВА ;

∑ Sист = ∑ Sпотр

С учетом погрешности округления цифр результаты расчета правильны.

9. Строим векторную диаграмму токов и напряжений.

Задача.

13

Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений. В данной схеме есть нейтральный провод, поэтому каждую фазу можно рассчитывать как однофазную цепь.

1.Обозначакм на схеме все токи и напряжения.

2Определяем фазные напряжения генератора.

Uф =Uл / √3 = 380 / √3 = 220 B

UA = 220 B; UB = 220 e ^{– j120º} B; UC = 220 e ^j120º B

Представим их в алгебраической форме записи.

UA = 220 B;

UB = ( 220 cos120º - j220 sin120º ) = -110 – j190 B;

UC = ( 220 cos120º + j220 sin120º ) = -110 + j190 B

3.Определим полные сопротивления фаз и углы сдвига фаз между фазными токами и фазными напряжениями.

Za = √ R² + X_L² = 5 Ом; φ'_a = arctg X_L / R = 37º

Zb = √ R² + Xc² = 5 Ом; φ'_b = - arctg Xc / R = - 37º

Zc = X_L = 3 Ом; φ'_c = 90º

4.Сопротивление нейтрального провода равно нулю U_N n = 0. На векторной диаграмме точки n и N совпадут. В этом случае фазные напряжения потребителя энергии равны фазным напряжениям генератора. Получаем симметричную систему фазных напряжений потребителя.

Ua = Ub = Uc = Uф = 220 В

5.Определим действующие значения линейных токов.

I_A = U_ф / Za = 220 / 5 = 44 A;

I_B = U_ф / Zb = 220 / 5 = 44 A;

I_C = U_ф / Zc = 220 / 3 = 73 A

6. Ток в нейтральном проводе можно определить из векторной диаграммы, сложив векторы линейных токов.

I_N = I_A + I_B + I_C

Его можно определить и численно, но в этом случае необходимо углы сдвига фаз привести к началу координат.

φ_a = 0 - φ'_a = 0 -37º = - 37º;

φ_b = -120º - φ'_b = -120º - ( -37º ) = -83º;

φ_c = 120º - φ'_c = 120º - 90º = 30º

Линейные токи и ток в нейтральном проводе можно представить в комплексной форме.

I_A = I_A e ^{– j37 º} = 44 e ^{– j37 º} = 44 cos 37º - j44 sin 37º = 35,14 - j26,5 A;

I_B = I_B e ^{– j83 º} = 44 e ^{– j83 º} = 44 cos 83º - j44 sin 83º = 5,4 – j43,7 A;

I_C = I_C e ^{j30 º} = 73 e ^{j30 º} = 73 cos 30º + j73 sin 30º = 63,2 + j36,5 A;

I_N = I_A + I_B + I_C = 103,74 – j33,7 =109 e ^{– j18 º} A

7.Проверяем результат по уравнению баланса мощностей.

∑ Sист = S_A + S_B + S_C = U_A IA^* + U_B IB^* + U_C IC^* = 220 ( 35,14 – j26,5 ) +

+ ( -110 – j190 )( 5,4 – j43,7) + ( -119 + j190 )( 63,2 + j36,5) =

= 15,2 + j16 кВА;

Pпотр = Ra IA² + Rb IB² = 4٠44² + 4٠44 = 15,5 кВт;

Qпотр = + X_L IA² - Xc IB² + X_L IC² = 3٠44² - 3٠44² + 3٠73² = 16 кВАр;

Sпотр = √ P² + Q² = 22,3 кВА;

∑ Sпотр = P + jQ = 15,5 + j16 кВА ;

∑ Sист = ∑ Sпотр

С учетом погрешности округления цифр результаты расчета правильны.

8.Строим векторную диаграмму токов и напряжений.

Задача.

Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений.

1.Определяем фазное напряжение.

Uф =Uл / √3 = 220 / √3 = 127 B

2.Определяем комплексные сопротивления фаз.

Z_ф = Za = Zb = Zc = R - jX_C

Комплексные сопротивления фаз равны, следовательно, нагрузка симметричная,

U_N n = 0 и I_N n = 0. Нейтральный провод в данной схеме не нужен.

3.Определяем полные сопротивления фаз и углы сдвига фаз между линейными токами и фазными напряжениями.

Z_ф = √ R² + X_С² = 5 Ом; φ = - arctg Xc / R = - 53º

4.Определяем действующие значения линейных токов.

Iл = I_ф = U_ф / Z_ф = 127 / 5 = 25,4 A

5.Определяем активную, реактивную и полную мощности.

P = √3 Uл Iл cos φ = √3 220٠25,4 cos 53º =5,82 кВт;

Q = √3 Uл Iл sin φ = √3 220٠25,4 sin 53º =7,72 кВАр;

S = √3 Uл Iл = 9.667 кВA

6.Построение векторной диаграммы токов и напряжений.