Поняття статистичної оцінки та основні вимоги до неї
Статична оцінка – це наближене значення шуканого параметра генеральної сукупності, що одержане за результатами вибірки та забезпечує можливість прийняття обґрунтованих рішень про невідомі параметри генеральної сукупності.
Нехай
статистична
оцінка невідомого параметра
теоретичного розподілу.
Розглядаючи
вибірки однакового об’єму з генеральної
сукупності знайдемо оцінки
,
що мають різні значення.
Тоді
можна розглядати як випадкову величину,
а
–
її можливі значення, і одержимо
.
Отже, статистичною оцінкою невідомого параметру теоретичного розподілу називається функція від спостережуваних випадкових величин.
Основні вимоги до статистичних оцінок: незміщеність, ефективність, спроможність та достатність.
Незміщеною
називають
таку статистичну оцінку
,
математичне сподівання якої дорівнює
оцінюваному параметру
при будь-якому об’ємі вибірки:
.
Точковою
незміщеною статистичною оцінкою
генеральної середньої (математичного
сподівання)
є вибіркова середня
,
оскільки
.
Ефективною називають таку незміщену оцінку , яка має найменшу дисперсію серед усіх можливих незміщених оцінок параметра , обчислених за вибірками однакового об’єму.
Спроможною
(ґрунтовною)
називають
таку статистичну оцінку
,
яка при збільшенні об’єму
наближається за ймовірністю до оцінюваного
параметра
,
тобто це така статистична оцінка, яка
підпорядкована закону великих чисел:
.
Достатньою (або вичерпною) називають таку статистичну оцінку , яка забезпечує повноту всієї вибіркової інформації про невідомий параметр генеральної сукупності .
Вибіркова
середня
є
точкова незміщена оцінка генеральної
середньої
, тобто
.
Вибіркова
дисперсія
є
точкова зміщена статистична оцінка
генеральної дисперсії
,
оскільки:
.
Виправлена вибіркова дисперсія
є точкова незміщена статистична оцінка генеральної дисперсії, оскільки
При
(великі
вибірки) практично немає різниці між
оцінками
і
.
Виправлене
вибіркове середнє квадратичне відхилення
S
буде
точковою зміщеною статистичною оцінкою
для генерального середньоквадратичного
відхилення
.
Величина
називається поправкою
Бесселя.
3. Точкова та інтервальна оцінки параметрів генеральної сукупності
Шуканий параметр генеральної сукупності може бути охарактеризований одним числом і називається точкова оцінка, або може бути вказаний інтервал,
в якому із заданою ймовірністю може знаходиться даний параметр і називається інтервальна оцінка.
При точковій оцінці параметрів генеральної сукупності спочатку потрібно визначити його вибіркове значення, яке повинно бути доповнене показником середньої помилки ,
оскільки вибіркове значення параметру відхиляється від дійсного значення генеральної сукупності.
Отже,
точкову оцінку можна записати у вигляді
.
При інтервальній оцінці параметра генеральної сукупності , спочатку визначаємо його вибіркове значення , яке приймаємо за центр інтервалу.
Потім,
знаходимо граничну випадкову помилку
даного параметра
,
яка визначає надійні границі інтервалу:
.
Одержаний
інтервал
називається надійним
(довірчим).
Він покриває невідомий параметр
з заданою ймовірністю
,
тобто з такою ймовірністю, яка є достатньо
високою і яка гарантує отримання надійних
статистичних висновків, тобто 
.
Імовірність
при
цьому називається надійною
(довірчою)
ймовірністю,
а величина
рівнем
значимості.
Якщо
,
то це свідчить про те, що при частих
застосуваннях даного методу обчислений
надійний інтервал наближено в 95%
випадків буде покривати параметр.
У математичній статистиці надійність того чи іншого параметру оцінюють за значеннями трьох наступних рівнів ймовірності:
,
яким відповідають рівні значимості:
.
Кожному
рівню надійної ймовірності відповідає
певне нормоване відхилення
.