361.2. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

 

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

   ,                                                                                                       (1.6)

где F – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 5) приложить силу F, то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение  и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила  . Для каждой материальной точки можно записать:

,

где  ,  поэтому

,                                                                                                  (1.7)

где m_i – масса i-й точки;  – угловое ускорение; r_i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на r_i, получают

,                                                                                               (1.8)

где  – момент силы – это произведение силы   на ее плечо  .

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения “ОО” (рис. 5) до линии действия силы  .

Рис. 5. Твердое тело, вращающееся под

действием силы F около оси “ОО”

– момент инерции i-й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так:

.                                                                                                            (1.9)

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела:

.

Обозначим  через М, а  через J, тогда

                                                                                                                 (1.10)

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина – геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение  .  – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: «Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение».

Мгновенное значение углового ускорения  , есть первая производная угловой скорости  по времени  , то есть

,                                                                                                        (1.11)

где  – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени  .

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

            или         ,                                                                                (1.12)

где  – импульс момента силы – это произведение момента силы   на промежуток времени  .

– изменение момента импульса тела,   – момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость  , а  есть  .

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы  , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса  ”:

    или                                                                                      (1.13)