Функциональные модели представления знаний о системе управления заданиями

Управление переключением потока заданий к системе, состоящей из двух серверов, может осуществляться различным образом. Рассмотрим два возможных варианта управления:

• одноуровневое управление;

• гистерезисное управление.

И в том, и в другом случае переключение между режимами связано с изменением уровня загруженности сервера, который определяется длиной очереди запросов.

Предположим, что и в том, и в другом режиме длительность обслуживания имеет экспоненциальное распределение. Обозначим параметр этого распределения как в случае использования первого сервера и как в случае применения второго сервера.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЗНАНИЙ О СИСТЕМЕ ОДНОУРОВНЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ ЗАДАНИЯМИ

Рис. 1. Взаимосвязь интенсивности потока ответов сервера μ и числа n ожидающих обработки

либо обрабатываемых в данный момент запросов при одноуровневом управлении

Рис. 2. Граф переходов между состояниями с различной длиной

очереди при использовании одноуровневого управления

На рис.2 изображен граф цепи Маркова, соответствующий рассматриваемому процессу рождения и гибели. Вершинам графа соответствуют стационарные вероятности нахождения процесса N(t) в конкретном состоянии, а дугам — интенсивности переходов между состояниями.

В случае одноуровневого управления работа системы определяется параметром L, а также интенсивностью потока запросов и интенсивностями потока ответов сервера для двух различных режимов работы: и . Переход между режимами работы серверной системы происходит, когда количество запросов к серверу, ожидающих обработки либо обрабатываемых в данный момент (длина очереди), превышает значение L. Обратный переход в режим работы без кеширования происходит, когда длина очереди вновь уменьшается до значения L.

Число запросов N(t), находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент) в момент времени t, можно описать процессом рождения и гибели с интенсивностью рождения, равной интенсивности входящего потока запросов, и интенсивностью гибели, равной интенсивности потока ответов сервера. Если значения

, принимаемые процессом N(t), назвать его состояниями, то установившиеся (стационарные) вероятности нахождения процесса N(t) в состоянии n вычисляются рекуррентно:

(2)

где и — интенсивности входящего потока запросов и потока ответов сервера соответственно, при ;

(3)

Стационарная вероятность вычисляется из того условия, что

(4)

Введём обозначения и и предположим, что . Из соотношений (2) – (4) следует, что

	(5)
	(6)
	(7)

Производящая функция от стационарного распределения длины очереди

(8)

Средняя длина очереди, т.е. среднее количество запросов к серверу, находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент)

(9)

Поскольку из всех находящихся в системе запросов в любой момент времени t один и только один запрос находится на обработке, то для любого число ожидающих обработки запросов связано с количеством всех находящихся в системе запросов следующим соотношением:

(10)

Следовательно, производящая функция от стационарного распределения числа запросов, ожидающих обработки связана с найденной ранее производящей функцией соотношением

(11)

Таким образом,

(12)

и среднее число ожидающих обработки запросов

(13)

Связь между средним временем ответа и средним числом находящихся в системе запросов задает одна из формул Литтла: . Аналогичным соотношением связаны между собой среднее время ожидания и среднее число ожидающих обработки запросов: Длительность обслуживания позволяет вычислить следующее соотношение:

Время ответа (T) = время ожидания (W) + длительность обслуживания (S).

Воспользовавшись соотношениями (7), (9), (13) и формулами Литтла, запишем итоговые выражения для искомых параметров.

Среднее время простаивания в очереди при одноуровневом управлении:

(14)

среднее время обслуживания при одноуровневом управлении:

(15)

где , ,

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЗНАНИЙ О СИСТЕМЕ ДВУХУРОВНЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ ЗАДАНИЯМИ

Рис. 3. Взаимосвязь интенсивности потока ответов сервера μ и числа n ожидающих обработки

либо обрабатываемых в данный момент запросов при гистерезисном управлении

В случае гистерезисного управления работа системы определяется параметрами и ,

, а также интенсивностью потока запросов и интенсивностями потока ответов сервера для двух различных режимов работы — и . Переход между режимами работы серверной системы происходит, когда количество запросов к серверу, ожидающих обработки либо обрабатываемых в данный момент (длина очереди), достигает значения L₂. Обратный переход в режим работы без кеширования происходит, когда длина очереди уменьшается до значения L₁.

Для простоты положим , , и обозначим , . Состояния системы определяются числом находящихся в системе запросов (длина очереди) и режимом работы (с кешированием или без кеширования). Выполним нумерацию состояний системы следующим образом. Для состояний, соответствующих работе с первым сервером, каждому состоянию с длиной очереди при , где поставим в соответствие число . Для состояний, соответствующих работе со вторым сервером, каждому состоянию с длиной очереди при , поставим в соответствие число .

На рис. 4 изображен граф цепи Маркова, соответствующий процессу рождения и гибели, описывающему число запросов N(t), находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент) в момент времени t. Вершинам графа соответствуют стационарные вероятности нахождения процесса N(t) в конкретном состоянии, пронумерованные в соответствии с нумерацией состояний системы, а дугам — интенсивности переходов между состояниями.

Рис. 4. Граф переходов между состояниями с различной длиной

очереди при использовании гистерезисного управления

Соотношения для стационарных вероятностей введенных состояний можно получить, используя те же рассуждения, что и в случае одноуровневого управления.

Стационарная вероятность вычисляется из условия

(16)

которое после подстановки выражений для можно свести к следующему виду

(17)

Формулы для стационарного распределения числа находящихся в системе запросов (длины очереди) получаются, исходя из соотношений

(18)

и имеют следующий вид:

(19)