1. Матрица перехода во вращательной кинематической паре.

Пусть звенья s и (s–1) связаны вращательной кинематической парой (рис.2.14). Обобщенная координата q_s представляет собой угол поворота s-го звена относительно (s–1)-го. Для определенности условимся выбирать систему координат, связанную с s-м звеном, таким образом, чтобы ось 0z_s совпадала с осью вращения во вращательной КП.

Выберем некоторое положение звена s за начальное и обозначим его знаком (*); соответственно s-я система координат в начальном положении будет обозначена 0_s^*х_s^*у_s^*z_s^*. В результате получили три системы координат: 0_s-1x_s-1y_s-1z_s-1, связанную со звеном (s–1), 0_s^*х_s^*у_s^*z_s^*, определяющую начальное положение s-го звена относительно (s–1)-го, и 0_s^*х_s^*у_s^*z_s^*, связанную с s-м звеном. Угол поворота системы координат 0_sх_sу_sz_s относительно 0_s^*х_s^*у_s^*z_s^* является углом q_s. В соответствии с (2.40) матрица направляющих косинусов А_s-1,s равна:

. (2.50)

Матрица А_s-1,s*(0) является постоянной, поскольку начальное положение s-го звена относительно (s–1)-го в процессе работы механизма не меняется. Матрица A_s*,s(q_s) является функцией обобщенной координаты q_s. Для ее построения составим таблицу направляющих косинусов (табл. 2.3).

Таблица 2.3

	Xs	Ys	Zs
Xs*	Cos(qs)	Cos(qs+/2)	Cos(/2)
Ys*	Cos(3/2+qs)	Cos(qs)	Cos(/2)
Zs*	Cos(/2)	Cos(/2)	Cos(0)

Тогда матрица А_s*,s(q_s) равна:

. (2.51)

Матрица P_z(q_s) называется матрицей поворота. Матрица перехода во вращательной кинематической паре примет вид:

. (2.52)

Отметим, что в матрице (2.52) переменной составляющей является только матрица поворота (2.51); остальные элементы – постоянные. Начальное положение s^* удобно выбирать так, чтобы матрица A_s-1,s*(0) имеет простой вид.

2. Матрица перехода в поступательной кинематической паре.

Пусть звенья s и (s–1) связаны поступательной кинематической парой (рис.2.15), тогда обобщенная координата q_s – поступательное перемещение звена s относительно звена (s–1). Свяжем со звеном (s–1) систему координат 0_s-1x_s-1y_s-1z_s-1, а со звеном s – систему координат 0_sx_sy_sz_s. Для определенности условимся так выбирать систему координат 0_sx_sy_sz_s, чтобы ось 0х_s совпадала с линией относительного перемещения звеньев s и (s–1). Отметим, что в процессе работы механизма углы между звеньями s и (s–1) и соответствующими системами координат не меняются, поэтому А_s-1,s= const; перемещается точка отсчета 0s относительно звена (s–1). Пусть в начальном положении при q_s = 0 система 0_sx_sy_sz_s занимает положение 0_s^*x_s^*y_s^*z_s^*. Начальное положение определяется вектором . Найдем вектор :

(2.53)

Составим матрицу перехода в поступательной паре:

. (2.54)

Рассмотрим пример (рис.2.16). Исполнительный механизм промышленного робота состоит из трех подвижных звеньев, связанных тремя кинематическими парами: двумя вращательными и одной поступательной. Из формулы Малышева–Сомова следует, что механизм обладает тремя степенями подвижности: W=6(4-1)-53=3. Следовательно, надо задать три обобщенные координаты: q₁, q₂, q₃. Свяжем с каждым из подвижных звеньев локальные системы координат 0₁x₁y₁z₁, 0₂x₂y₂z₂, 0₃x₃y₃z₃ так, как показано на рисунке. Зададим начальное положение каждой из систем координат: 0₁^*x₁^*y₁^*z₁^*, 0₂^*x₂^*y₂^*z₂^*, 0₃^*x₃^*y₃^*z₃^*. Для удобства зададим начальное положение звена 1 так, чтобы система координат 0₁^*x₁^*y₁^*z₁^* совпадала с неподвижной системой 0x₀y₀z₀. Зададим конструктивные параметры схемы a, b, c и входные обобщенные координаты q₁, q₂, q₃. Требуется построить функцию положения точки М, принадлежащей третьему звену, или, иначе говоря, найти координаты точки М в неподвижной системе отсчета .

Решение. Положение точки М в системе координат 0₃х₃у₃z₃ можно задать вектором-столбцом:

.

В соответствии с (2.49) . Составим матрицы перехода.

Для составления матрицы А₁₂ построим табл. 2.4 направляющих косинусов:

Таблица 2.4

	X2	Y2	Z2
X1	0	0	1
Y1	0	–1	0
Z1	1	0	0

Тогда матрица перехода Н₁₂(q₂):

.

Для построения матрицы А_23*(0) составим табл. 2.5 направляющих косинусов:

Таблица 2.5

	X3*	Y3*	Z3*
X2	0	1	0
Y2	–1	0	0
Z2	0	0	1

Найдем матрицу перехода :

Подставляя найденные матрицы перехода, получим:

.