4. Геометрический анализ исполнительных механизмов промышленных роботов

Рассмотрим пространственный механизм со структурой «дерева». Такие модели используется для описания исполнительных механизмов промышленных роботов, грузоподъемных механизмов и т.п. (см., например, рис. 1.11 ).

Для построения функции положения воспользуемся следующим методом. Свяжем с некоторым s-м звеном исполнительного механизма систему координат 0_sx_sy_sz_s, а со звеном (s–1) – систему координат 0_s-1x_s-1y_s-1z_s-1 (рис.2.13). Составим вспомогательную табличку, в которой укажем косинусы углов между осями s-й и (s–1)-й системами координат (табл. 2.1):

Таблица 2.1

	Xs	Ys	Zs
Xs-1	Cos(Xs-1,Xs)	Cos(Xs-1,Ys)	Cos(Xs-1,Zs)
Ys-1	Cos(Ys-1,Xs)	Cos(Ys-1,Ys)	Cos(Ys-1,Zs)
Zs-1	Cos(Zs-1,Xs)	Cos(Zs-1,Ys)	Cos(Zs-1,Zs)

Обычно для краткости эти косинусы обозначают буквами  (табл. 2.2):

Таблица 2.2

	Xs	Ys	Zs
Xs-1	11	12	13
Ys-1	21	22	23
Zs-1	31	32	33

Элементы этой таблицы имеют следующие свойства:

• Сумма квадратов косинусов в каждой строке равна единице, т.е.

²₁₁ + ²₁₂ + ²₁₃ = 1;

²₂₁ + ²₂₂ + ²₂₃ = 1;

²₃₁ + ²₃₂ + ²₃₃ = 1;

• Сумма попарных произведений равна 0, т.е.

₁₁ ₂₁+ ₁₂₂₂ + ₁₃₂₃ = 0;

₂₁ ₃₁+ ₂₂₃₂ + ₂₃₃₃ = 0;

₁₁ ₃₁+ ₁₂₃₂ + ₁₃₃₃ = 0.

Таким образом, все элементы таблицы не являются независимыми, и их можно выразить через три параметра, например, через углы Эйлера.

Положение s-й системы координат относительно (s–1)-й определяется вектором , связывающим начала систем координат, и матрицей направляющих косинусов А_s-1,s, полученной из таблицы направляющих косинусов:

. (2.39)

Матрицы А_s-1,s обладают важным свойством. Если А_s-1,s и А_s,s+1 – матрицы направляющих косинусов между осями соответственно (s–1)-й и s-й (первая) и s-й и (s+1)-й (вторая) систем координат, то

А_s-1,s+1 = А_s-1,s А_{s,s+1 .} (2.40)

Пусть на s-м звене имеется некоторая точка М. Соединив ее с точками 0_s-1 и 0_s, построим векторы и . Для них можно записать следующее векторное равенство:

. (2.41)

Вектор может быть задан проекциями на оси какой-либо системы координат, например, (s–1)-й:

. (2.42)

Аналогично можно задать вектор проекциями на оси s-й системы координат:

, (2.43)

а вектор – проекциями на оси (s–1)-й системы координат:

. (2.44)

Используя представления (2.42–2.44), можно записать выражение (2.41) в проекциях на оси (s–1)-й системы координат:

(2.45)

Из (2.45) следует, что, если нам известно положение точки М на s-м звене и положение s-го звена относительно (s–1)-го, то можно получить координаты точки М на (s–1)-м звене. Перемещаясь далее к (s–2)-му , (s–3)-му и т.д. звеньям, можно дойти до стойки и получить координаты точки М в неподвижной системе.

В соотношении (2.45) есть некоторое неудобство, заключающееся в том, что операция умножения матриц чередуется с операцией сложения. Для того, чтобы оставить только операции умножения матриц, обычно вводят четырехмерные векторы-столбцы координат:

, , (2.46)

а также блочные матрицы 4х4:

. (2.47)

Матрицы H_s-1,s называются матрицами перехода от s-й системы координат к (s–1)-й системе. Тогда соотношение (2.45) можно записать в виде:

(2.48)

и т.д.

Перемножая последовательно матрицы перехода, можно дойти до неподвижной системы координат:

. (2.49)

Здесь – вектор-столбец координат точки М в системе, связанной со звеном n, а – вектор-столбец координат точки М в неподвижной системе. Таким образом, выражение (2.49) дает возможность построить функцию положения некоторой точки в явном виде. Для того, чтобы это сделать, нужно составить матрицы перехода. Рассмотрим подробнее матрицы перехода для двух наиболее часто встречающихся видов кинематических пар – вращательной и поступательной.