Юферева Марина Александровна. Кировский педагогический колледж.

Только для студентов Кировского педагогического колледжа.

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Кировский педагогический колледж»

Образовательный модуль

по дисциплине

«Методика преподавания

начального курса математики»

Учебно-методический комплект

для самостоятельного освоения студентами темы

«Методика изучения геометрического материала»

Составитель:

Юферева М.А.,

преподаватель дисциплин

предметной подготовки

Общая характеристика методики изучения геометрического материала

Основной задачей изучения геометрического материала в I – IV классах является формирование у учащихся чётких представлений и понятий о таких геометрических фигурах, как точка, прямая линия, отрезок прямой, ломаная линия, угол, многоугольник, круг. Знакомство с этими фигурами осуществляется на уровне представлений. Ученики должны научить узнавать геометрические фигуры, выделять некоторые их свойства, изображать некоторые фигуры на клетчатой бумаге.

Учащиеся начальных классов должны уметь:

• распознавать и изображать (на клетчатой бумаге с помощью циркуля и линейки) простейшие геометрические фигуры (точка, отрезок, ломаная, окружность, круг, многоугольник);

• измерять длину отрезка, длину ломаной;

• строить отрезок данной длины;

• вычислять периметр и площадь прямоугольника.

При этом система упражнений и задач геометрического содержания и методика работы над ними должны способствовать развитию пространственных представлений у детей, умений наблюдать, сравнивать, абстрагировать и обобщать.

Учитывая задачи, намеченные программой, при изучении геометрического материала следует широко использовать разнообразные наглядные пособия. Это демонстрационные, общеклассные пособия: геометрические фигуры, изготовленные из цветного картона или плотной бумаги, плакаты с изображениями предметов различной формы, а также геометрических фигур, чертежи на доске, диафильмы. Кроме того, требуются индивидуальные наглядные пособия – такой раздаточный материал, как полоски бумаги, палочки различной длины, вырезанные из бумаги фигуры и части фигур. В классе необходимо иметь набор чертёжно-измерительных инструментов для выполнения чертежей на доске: линейку, чертёжный треугольник, циркуль. Аналогичные инструменты должны быть и у каждого ученика.

Наиболее эффективными приёмами изучения геометрического материала являются лабораторно-практические: моделирование фигур из бумаги, из палочек, из проволоки; черчение, измерение и др.. При этом важно обеспечить разнообразие объектов, для того чтобы, варьируя несущественные признаки (цвет, размер, расположение на плоскости и др.), помочь детям выделить и усвоить существенные признаки – форму предметов, свойства фигур и т.п.

Раскрывая геометрический материал учащимися I – IV классов, надо учитывать, что первые представления о форме, размере и взаимном положении предметов в пространстве дети накапливают ещё в дошкольный период. В процессе игр и практической деятельности они манипулируют предметами, рассматривают, ощупывают их, рисуют, лепят, конструируют и постепенно вычленяют среди других свойств их форму. К 6 – 7 годам многие дошкольники правильно показывают предметы, имеющие форму шара, куба, круга, квадрата, треугольника, прямоугольника. Однако уровень обобщения этих понятий ещё не высок: дети противопоставляют квадрат прямоугольнику, не узнают знакомую форму предмета, если сам предмет им не знаком.

При обучении в школе необходимо опираться на имеющийся опыт детей, уточнять и обогащать их представления.

Геометрический материал в программе начальной школы не выделяется как самостоятельный раздел, он включается в программу каждого года обучения. Надо отметить его тесную связь с другими разделами математики, и прежде всего с арифметикой. В основе этой связи лежит возможность установления отношений между числом и геометрической фигурой, что позволяет использовать фигуры при формировании понятий числа, свойств чисел и операций над ними. И, наоборот, использовать числа для изучения свойств геометрических фигур. На первом году обучения геометрические фигуры и тела применяются в качестве объектов для пересчитывания (как счётный материал). Позже такими объектами должны стать элементы фигур (стороны, углы, вершины многоугольников). Там, где важно, изучение геометрического материала на уроке должно связываться с изучением арифметического и алгебраического материала, хотя формирование геометрических представлений и понятий представляет самостоятельную и довольно специфическую линию работы.

Формирование представления о геометрических фигурах происходит постепенно и проходит ряд этапов:

1. Интуитивный уровень формирования представлений;

2. Формирование представлений о геометрических фигурах с выделением существенных признаков (признаков, отражающих суть данной фигуры);

3. Задания, в которых геометрические фигуры и их элементы являются объектами для пересчитывания (также ведется работа и по усвоению необходимой терминологии, формируются умения узнавать и различать геометрические фигуры);

4. Задания на классификацию фигур;

5. На деление фигур на части и на составление одних геометрических фигур из других;

6. На выявление геометрической формы реальных объектов или их частей;

7. Задания, связанные с формированием элементарных навыков чтения геометрических чертежей.

Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребёнку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры.

Задача учителя – научить вычислять, называть и правильно показывать эти фигуры, изображать их на доске и на бумаге, а, начиная с 3 класса обозначать с помощью букв. Для этого необходимо показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать её соответствующим термином: это круг, это отрезки, это прямоугольники и т.д. Учитель должен помнить, что в начальном курсе геометрии многие понятия даются как неопределяемые (отрезок, угол, многоугольник). Нет смысла задавать вопрос: «Что такое треугольник?» Однако учащиеся могут ответить на вопрос: «Что ты можешь сказать о треугольнике?»

Такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ, поэтому, если изменить расположение или размер тех фигур, которые были предложены в образце, дети могут допускать ошибки. Поэтому восприятие геометрической фигуры как целостного образца – лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребёнка. В дальнейшем необходимо сосредоточить их внимание на выделении тех элементов, из которых состоят геометрические фигуры, и на их существенных признаках. Для этой цели геометрические фигуры изучают в определённой последовательности, выполняя с моделями различные практические действия.

Ведущую роль при изучении геометрического материала играют систематически проводимые работы по формированию умений и навыков, связанных с применением чертежных и измерительных инструментов, с выполнением простейших чертежей и т.д. Таким образом, учащиеся получают элементарные навыки построения и измерения. Следует также дать первоначальное представление о точности построений и измерений.

Формирование умений выполнять построения прямоугольника с заданными сторонами требует определенной тренировки (урок математики и труда). Учитель должен показать способы построения прямоугольника на линованной и нелинованной бумаге, но на предыдущих уроках учитель показывает способ построения прямого угла:

а) провести через точку А прямую линию Б;

б) приложить к этой прямой линии чертеж треугольника так, чтобы одна из сторон его прямого угла совпадала с точкой А. Не нажимая сильно на карандаш, пометить положение другой стороны прямого угла так, чтобы его вершина была точка А;

в) сдвинуть А и четко провести вторую сторону угла.

В дальнейшем построении различных фигур опора на свойства этих фигур (треугольник, квадрат, прямоугольник).

Методика ознакомления с геометрическими фигурами

Содержание геометрического материала в Программе «Математика (1-4)» авторы: М.И. Моро и другие.

1 класс	2 класс	3 класс	4 класс
Точка. Линии: кривая, прямая. Отрезок. Ломаная. Многоугольник. Углы, вершины, стороны многоугольника.	Углы прямые и непрямые. Прямоугольник (квадрат). Свойства противоположных сторон прямоугольника. Построение прямого угла, прямоугольника (квадрата) на клетчатой бумаге. Периметр прямоугольника (квадрата).	Обозначение геометрических фигур буквами. Круг. Окружность. Центр, радиус, диаметр окружности (круга). Виды треугольников: разносторонние, равнобедренные (равносторонние).	Луч. Угол. Виды углов, прямой, острый, тупой. Виды треугольников: прямоугольный, остроугольный, тупоугольный. Диагонали прямоугольника. Свойство диагоналей прямоугольника (квадрата).

Элементарная геометрическая фигура, изучаемая в 1 классе, - точка. Любую другую геометрическую фигуру можно рассматривать как множество точек. Через точку можно провести различные линии. Опираясь на свой жизненный опыт, ребёнок самостоятельно справляется с задачей проведения линий через точку и даже сам может их назвать соответствующими терминами: «кривая», «прямая», линии (М-1, ч.1, с.36)

При этом прямые линии целесообразно не только изображать на листе бумаги, но и используя в качестве модели плоскости тот же лист, получить, например, прямую линию, сгибая его так, чтобы линия сгиба проходила через данную точку.

Представление о линии можно дать различными способами, но лучше обратиться к опыту учащихся, их воображению. «Кто у вас наблюдал за летящим самолётом? Его след даёт представление о линии. Этот след изобразим на доске. А кто попробует показать перелёт птицы с дерева на травку или падение листа с дерева? – На доске появляются различные линии. Всё это линии: прямые, кривые, волнистые. А если бы самолёт летел и летел, оставляя след. Что стало бы с линией? (Она тянулась бы без конца). В математике говорят, что любая линия бесконечна».

При проведении прямой линии через две точки учащимся можно предложить перегнуть лист бумаги так, чтобы линия сгиба проходила через данные точки. Это позволит им практически убедиться в том, что через две точки можно провести только одну прямую.

Полезно, чтобы в процессе выполнения различных упражнений дети научились различать такие понятия, как: «точка пересечения двух линий», «линия проходит через точку», «линия соединяет две точки», «точка принадлежит линии».

С отрезком прямой учащиеся знакомятся также практически: отмечают на прямой 2 точки, и учитель поясняет, что эту часть прямой от 1 точки до другой называют отрезкой прямой, или кратко – отрезком, а точки – концами отрезка. Дети ставят точки на других прямых, начерченных на доске, и показывают полученные отрезки и концы отрезков. Затем учитель показывает, как изображается на чертеже отрезок (концы отрезка отмечает точками или штрихами), сравнивает с изображением прямой. Учащиеся показывают на чертежах и сами чертят прямые и отрезки прямых и постепенно осознают, что отрезок ограничен, а прямая не ограничена, мы изображали на бумаге только часть прямой. До измерения отрезков дети учатся сравнивать их наложением, чтобы установить, какой из них короче (длиннее) или отрезки одинаковой длины.

При знакомстве с отрезком следует выделить такие его признаки, ориентируясь на которые школьники могли бы легко узнавать эту геометрическую фигуру. Для этого прежде всего нужно обратить внимание их на то, что отрезок имеет начало и конец, длину., и что его следует проводить по линейке также, как и другие фигуры. Следует также обратить внимание детей на условность изображения прямой и отрезка. А именно: изображая отрезок, мы обязательно фиксируем две точки (штрихи) – начало и конец, при изображении прямой линии эти точки не ставим.

В дальнейшем после знакомства с сантиметром, дециметром, метром и т.д. учащиеся выполняют большое количество упражнений в измерении и черчении отрезков. Постепенно учащиеся убеждают, что разные отрезки содержат разное число выбранных единиц длины. Таким образом, становиться возможным судить о равенстве и неравенстве отрезков на основе сравнения их длин.

Опираясь на понятие отрезка, учащиеся второго класса знакомятся с ломаной линией (М-1, ч.1, с.38). Для этого по образцу, данному учителем, предлагают учащимся построить линию из палочек или из бумажных полосок. Учитель даёт название новой линии. Можно также изготовит ломаной, «сломав» на глазах у детей кусок проволоки. Учащиеся чертят ломаные линии на доске и в тетрадях, ставят три точки, не лежащие на одной прямой и соединяют их отрезками. Каждый раз дети подсчитывают, сколько отрезков содержится в ломаной. Также с опорой на практические работы вводят понятие незамкнутой и замкнутой ломаной линии. Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Учащиеся строят из палочек ломаную линию, находят её начало и коней. Учитель дает название такой ломаной – незамкнутая, а затем предлагает по образцу соединить начало и конец незамкнутой ломаной линии. Учащиеся должны сами догадать, что название такой ломаной – замкнутая. При этом звенья соединяются так, чтобы они кроме вершин не имели больше точек.

Затем учащиеся знакомятся с измерением ломаных линий (М-2, ч.1, с.28): длинной ломанной называется сумма длин ее звеньев. Значит, необходимо измерить отдельные звенья ломаной и сложить полученные длины. Чтобы дети усвоили понятие длины ломаной линии, необходимо включить достаточное количество упражнений в нахождение длины незамкнутых и замкнутых ломаных линий, которые содержат различное число звеньев.

В процессе упражнений устанавливается связь между замкнутой ломаной и многоугольником (М-1, ч.1, с.46), для которого ломаная линия является границей, замкнутая ломаная линия, состоящая из четырёх звеньев называется четырёхугольником.

На этапе изучения отдельных видов многоугольников вычленяются элементы многоугольников: стороны, углы, вершины, стороны. Понятие многоугольника можно ввести как обобщение рассмотренных видов многоугольников. Выделяя элементы многоугольников, учащиеся подмечают связь между числом элементов и названием фигуры (три стороны, три вершины, три угла – треугольник; четыре стороны, четыре вершины, четыре угла – четырёхугольник и т.д.). Кроме того, дети осознают, что у многоугольника одинаковое число углов, сторон и вершин.

Большое значение для закрепления представлений о многоугольниках, а также для развития пространственного представления в целом имеют задачи с геометрическим содержанием, которые включаются, систематически начиная с I класса. Имея представление о точке, отрезке и угле, школьники могут находить эти геометрические фигуры в треугольниках, четырёхугольниках, прямоугольниках, выделяя в качестве их элементов вершины (точки), стороны (отрезки) и углы. Ориентируясь на эти элементы, дети могут распознавать треугольник, четырёхугольник и т.д., называя все эти фигуры многоугольника.

Постепенно учащиеся осознают, что отрезок может быть общей стороной нескольких многоугольников, и, опираясь на это, во 2-3 классах выполняют упражнения на построение отрезков внутри многоугольников, так, чтобы при этом образовались новые фигуры; например, провести внутри многоугольника один отрезок так, чтобы при разрезании получились треугольник и четырехугольник или 2 четырехугольника или треугольник и шестиугольник. Учащиеся выполняют задание в тетрадях, а затем выявляются и показывают на доске различные решения каждой задачи. Такие упражнения развивают у детей воображение и пространственные представления, а также закрепляют геометрические понятия.

В процессе работы над многоугольниками учащиеся получают первые сведения об углах (угол образует 2 стороны многоугольника, выходящие из 1 из вершин), учатся показывать углы многоугольника.

Во втором классе учащиеся знакомятся с прямым углом (М-2, ч.2, с.8). Это можно провести так. Дети под руководством учителя изготовляют модель прямого угла: они дважды перегибают пополам лист бумаги произвольной формы и устанавливают, что получившиеся при этом 2 пересекающиеся прямые линии образуют 4 одинаковых угла. Учитель сообщает, что такие углы называют прямыми. Затем дети наложением устанавливают, что, несмотря на различные листы бумаги, все получившиеся прямые углы равны. Пользуясь моделью прямого угла, учащиеся находят прямые и непрямые углы на окружающих предметах, в частности на чертежном треугольнике.

Для формирования у детей представления об угле, в основе которого лежит данное определение, можно воспользоваться моделями угла или рисунком.

Понятие «угол» расширяется и углубляется в 4 классе (М-4, ч.1, с.33). Если из точки провести по линейке прямую линию, то получим геометрическую фигуру, называемую лучом (М-4, ч.1. с.31). Углом называется фигура, которая состоит из двух различных лучей с общим началом. Это точка называется вершиной угла, а лучи – его сторонами. Вводится понятие острого и тупого угла.

При знакомстве с острыми и тупыми углами (М-4, ч.1. с.33) используются модели трёх видов: модель острого, прямого и тупого угла. И с помощью наложения прямого угла с острым и прямого угла с тупым выявляется их разница. В начальных классах учащиеся выполняют простейшую классификацию углов: прямой, тупой, острый.

Понятие угла закрепляется у учащихся в дальнейшем в процессе изучения многоугольников, например при рассмотрении прямоугольника (М-2, ч.2, с.12). Среди нескольких четырехугольников ученики с помощью модели прямого угла находят четырехугольники с одним – двумя прямыми углами, а также четырехугольники, у которых все углы прямые. Учитель сообщает, что в последнем случае четырехугольники называют прямоугольниками. Учащиеся находят в окружающей их обстановке предметы прямоугольной формы, показывают прямоугольники среди других геометрических фигур, начерченных на доске или выставленных на наборном полотне, вырезают их из бумаги в клеточку, чертят по точкам в тетрадях и т.п. В процессе таких упражнений у детей формируется наглядный образ прямоугольника, запоминается его название. Знакомятся со свойством противоположных сторон прямоугольника (М-2, ч.2, с.28).

В дальнейшем учащиеся выполняют построение многоугольников с помощью линейки (чертят прямые углы, пользуясь разлиновкой тетрадей).

После того как учащиеся 2 класса усвоят свойство противоположных сторон прямоугольника, из множества прямоугольников вычленяют квадраты (М-2, ч.2, с.30) – прямоугольники с равными сторонами.

Работа на уроке так и организуется, чтобы учащиеся увидели, квадрат – это частный случай прямоугольника. Детям предлагается, например, измерить стороны у нескольких прямоугольников, начерченных на доске или вырезанных из бумаги. Среди них обнаруживаются такие прямоугольники, у каждого из которых стороны равны между собой. Дети сами вспоминают их название – квадраты. Чтобы подчеркнуть, что квадраты – это прямоугольники с равными сторонами, включают такие упражнения:

• покажите прямоугольники, которые нельзя назвать квадратами;

• найдите среди данных четырехугольников 4 прямоугольника;

• найдите среди данных прямоугольников 2 квадрата и т.п.

В подобных упражнениях дети должны обосновать свои суждения, проверяя с помощью чертежного треугольника, являются ли все углы четырехугольника прямыми, а так же устанавливая с помощью линейки, каково в нем соотношение сторон.

Определённую трудность для младших школьников представляет осознание того, что любой квадрат является прямоугольником. Причина в том, что целостный образ квадрата и прямоугольника уже сложился у большинства детей, а умением выделять существенные признаки фигуры они ещё не овладели. Целесообразно подвести детей к выводу, что выделяются четырёхугольники, у которых все углы прямые. Они имеют название – прямоугольники. Среди прямоугольников можно выделить такие, у которых все стороны равны. Это квадрат.

Понятие о периметре многоугольника (М-2, ч.1. с.36) во втором классе дается в процессе решения конкретной задачи на нахождение длины замкнутой ломаной линии. Сначала включают задачи на нахождение периметра многоугольника с неравными сторонами, в процессе решения которых закрепляются понятия о длине ломаной линии. Например, учащимся раздаются вырезанные из бумаги многоугольники, и даётся задание найти сумму длин сторон данных фигур. Можно предложить построить многоугольник по точкам, не лежащими на одной прямой, соединить их последовательно отрезками, обозначить и раскрасить полученный многоугольник, а потом измерить стороны и найти сумму их длин.

Затем специально рассматривается нахождение периметра равносторонних многоугольников, а также нахождение периметра прямоугольника. Периметр этих фигур дети находят сначала, как и на предыдущем этапе. Обращается внимание учащихся на равенство сторон, и учащиеся сами догадываются, что при нахождении периметра прямоугольника квадрата и других многоугольников с равными сторонами достаточно измерить одну сторону, а затем умножить её длину на число сторон многоугольника. При нахождении периметра прямоугольника достаточно узнать его длину и ширину, затем умножить каждое из этих чисел на два и полученные произведения сложить. Здесь учащиеся, кроме геометрических, закрепляют также и арифметические знания. Опираясь на чертёж, дети замечают, что можно поступить и по-другому: найти сумму длин смежных сторон, а затем умножить эту сумму на два. Так, как использованное свойство умножения суммы на число известно, детям, то они убеждаются в правильности своих рассуждений при нахождении периметра прямоугольника.

В дальнейшем учащиеся систематически решают задачи на вычисление периметра, а также задачи, им обратные. При решении таких задач полезно выполнять чертёж на доске. Наряду с решением готовых задач рекомендуется предлагать детям задания на составление подобных задач с геометрическим содержанием (подобрать и вставить в условие пропущенные числовые данные; составить задачу, обратную решенной или по данному решению и другие виды упражнений). В процессе выполнения этих заданий у учащихся формируется понятие периметра многоугольника и умение находить его, а также развивается пространственные и геометрические представления.

Со свойствами диагоналей прямоугольника учащиеся знакомятся в 4 классе (М-4, ч.1, с.16).

В третьем классе учащиеся знакомятся с обозначением точек латинскими буквами (М-3, ч.1, с.10). Учитель поясняет, что для различения точек на чертеже принято обозначать их заглавными латинскими буквами, которые пишутся около точки (показывает образец на доске), затем дети упражняются в обозначении точек буквами и чтении обозначенных буквами точек.

С этого времени наряду с устными упражнениями можно включать и письменные, что гораздо эффективнее, так как заставляет работать каждого ребёнка. Например, по чертежу, данному на доске, предлагается выписать в первую строчку те точки, которые лежат внутри круга, во вторую строчку - точки, которые лежат вне круга, в третью – точки, лежащие на границе круга. Также учащимся даются задания, которые закрепляют умения выделять отрезки, являющиеся частями других отрезков, а также отрезки, составленные из других отрезков. Например, предлагается записать все отрезки, которые имеются на чертеже, измерить с помощью линейки и выписать равные отрезки.

Виды треугольников: разносторонние, равнобедренные (равносторонние) (М-3, ч.2, с.61)

В третьем классе, дети знакомятся с окружностью, учатся чертить окружности с помощью циркуля, знакомятся с элементами окружности и круга – центром, радиусом, диаметром (М-3, ч. 1, с. 82-84). Все эти сведения усваиваются детьми в процессе практических упражнений. Например, соединив точки, лежащие на окружности, с центром и сравнив полученные отрезки, дети, убеждаются в равенстве этих отрезков. Вводится название этих отрезков – радиус круга или окружности

Сопоставив круг с многоугольником, учащиеся устанавливают, что границей многоугольника является замкнутая ломаная линия, а границей круга – замкнутая кривая линия – окружность.

Чтобы учащиеся не смешивали круг и окружность, дают специальные упражнения, например: проведите окружность и раскрасьте круг, отметьте центр круга или окружности, а также точки, лежащие в круге, вне круга и на окружности.

Затем в процессе упражнений у детей формируется умение чертить окружности указанного радиуса, а также делить с помощью циркуля окружность на 6, 3, 12 равных частей, делить перегибанием круга.

Важнейшую роль при изучении геометрического материала в начальных классах играют геометрические задания, специально направленные на развитие у младших школьников пространственных представлений и воображения, их речи и мышления, на формирование практических умений и навыков. К ним можно отнести задания на:

• классификацию геометрических фигур;

• деление фигур на части;

• составление геометрических фигур заданной формы из других;

• вычленение фигур на чертеже сложной конфигурации;

• распознавание фигур знакомых видов в окружающей обстановке;

• выяснение геометрической формы предметов или их частей.

Для использования геометрического материала как средства обучения нужно, чтобы учащиеся имели уже соответствующие геометрические знания и умения. В то же время показателем геометрических знаний является умение учащихся применять приобретённые знания геометрии при решении каких-либо практических, не обязательно геометрических задач.