Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.

2.1. Векторы;

Вопросы:

2.1.1. Линейное векторное пространства;

2.1.2. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол межу векторами.

2.1.1. Линейное векторное пространство.

Определение 1. Упорядоченная совокупность из n действительных чисел (а₁, а₂, …, а_n) называется n-мерным вектором ā(а₁, а₂, …, а_n). Числа а₁, а₂, ..., а_n называются координатами вектора.

Два n-мерных вектора (а₁, а₂, …, а_n) и (b₁, b₂, …, b_n) считаются равными, если равны их соответствующие координаты:

, ( ).

Вектор, все координаты которого равны нулю, называется ноль-вектором и обозначается .

Пример. (3; 1/2; 0,7; -2; 0) - пятимерный вектор.

Определение 2. Суммой (разностью) двух n-мерных векторов (а₁, а₂, …, а_n) и (b₁, b₂, …, b_n) называется n-мерный вектор, координаты которого равны суммам (разностям) соответствующих координат исходных векторов:

=(a₁ b₁; a₂ b₂; …; a_n b_n).

Определение 3. Произведением n-мерного вектора (а₁, а₂, …, а_n) на число k называется n‑мерный вектор, координаты которого равны произведениям координат вектора на число k: k · =(ka₁; ka₂; …; ka_n).

Свойства операций над векторами:

1) + = + - коммутативность,

2) +( + )=( + )+ - ассоциативность,

3) k·( )=k· k· - дистрибутивность,

4) (k₁ k₂)· = k_{1 ·} k₂· ,

5) (k₁·k₂)· =k₁·(k₂· ),

6) 1· = ,

7) 0· = ,

8) k· = ,

Определение 4. Совокупность всех n-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число называется n-мерным линейным векторным пространством и обозначается Eⁿ.

Пример. E² - совокупность всех двухмерных векторов плоскости с обычными операциями сложения и умножения векторов.

2.1.2. Скалярное произведение.

Длина вектора. Угол между векторами.

Определение 1. Скалярным произведением двух n-мерных векторов (а₁, а₂, ..., а_n) и (b₁, b₂, ..., b_n) называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат.

· =а₁·b₁+a₂·b₂+…+a_n·b_n.

Свойства скалярного произведения:

1. · = · - коммутативность;

2. ·( + )= · + · - дистрибутивность;

3. k·( · )=(k· )· ,

4. · = ² , ²=0 .

Определение 2. Длиной n-мерного вектора называется величина:

.

Определение 3. Углом между двумя ненулевыми n-мерными векторами называется угол, косинус которого вычисляется по формуле

.

Вопросы для самопроверки.

1. Что такое вектор?

2. Перечислите операции над векторами.

3. Что такое длина вектора? Как она вычисляется?

4. Как вычислить угол меду векторами?

5. Что называется скалярным произведением векторов?

2.2. Уравнение прямой.

Вопросы:

2.2.1 Декартова прямоугольная система координат;

2.2.2. Расстояние между двумя точками на плоскости. Формула координат середины отрезка;

2.2.3. Общее уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

2.2.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом;

2.2.5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении;

2.2.6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки;

2.2.7. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности.