Адиабатический нагрев неоднородного тела

Определение оригинала функции по её изображению

Преобразуем значения τ₁s и τ₂s к виду удобному для отображения изображения этих функций.

Рассмотрим изображение τ₁s для жилы кабеля (тело 1).

Наиболее удобной является следующая форма

Преобразуем выражение

Введем следующие обозначения

γ₁= ; γ₂=

Тогда последнее выражение τ₁sпримет вид

Введем обозначения в соответствии со справочником Менского

где α – корень уравнения

Иначе τ₁(t) можно записать так

где τ_1нач и τ_2нач – соответственно начальные значения превышения температур жилы (тело 1) и изоляции (тело 2);

А₀ – постоянная;

А₁ и А₂ – начальные значения свободных составляющих;

α – эквивалентный коэффициент затухания,

Mathcad

Адиабатический нагрев неоднородного тела

Определение оригинала функции по её изображению

II. Исследовать процесс нагрева однородного тела при зависимом коэффициенте теплоотдачи от превышения температуры k_T (τ) и постоянном значении протекающего тока I:

а) Получить дифференциальное уравнение процесса нагрева однородного тела при зависимом коэффициенте теплоотдачи от превышения температуры k_T (τ).

Исходные данные

I	R	P	C0	KT
const	const	const	const	KТ.начτm Принять: m=0,25 и m=1,00

Примечание:

1. I, P, C₀, k_T – соответственно значение тока; выделяема в теле мощность; теплоёмкость тела в целом; коэффициент теплоотдачи.

2. Температура окружающей среды – θ₀ = const.

3. Начальные условия – при t = 0, τ = τ_нач, где τ_нач = (θ_нач − θ₀) – начальное превышение температуры.

б) Получить зависимости τ = f (t) и t = f (τ) при нормальных условиях нагрева, условиях адиабатического нагрева и условиях охлаждения путём интегрирования дифференциального уравнения процесса нагрева с помощью систему компьютерной математики. Причем предварительно выразить зависимости τ = f (t) и t = f (τ) через параметры режима теплового процесса τ_у,k, T.

в) Получить оценку постоянной времени Т.

г) Сравнить в аналогичных условиях зависимости τ = f (t) и t = f (τ) при независимом и зависимом коэффициенте теплоотдачи от превышения температуры.

Решение.

Дифференциальное уравнение нагрева однородного тела

где n = 1 + m. По условию задачи принято m= 0,25 и m = 1,00.

На рис.1 представлена «электрическая схема», в которой электрические переходные процессы описываются дифференциальным уравнением подобному дифференциальному уравнению нагрева однородного тела.

Рис.1. «Электрическая схема» теплового переходного процесса нагрева однородного тела (а) и моделируемое однородное тело (б) – проводник.

P = I²R – выделяемая в проводнике током Iмощность потерь, где R–значение сопротивления проводника;

Q – выключатель, обеспечивающий возникновение переходного процесса; 1 – точка «высокого потенциала», соответствующая в нагреваемом проводнике текущей температуре θ; τ = (θ-θ₀) – «разность потенциалов» между точкой «высокого потенциала» θ и точкой «нулевого потенциала» - 0, соответствующей температуре окружающей среды θ₀; С – общая теплоёмкость проводника;

– тепловое сопротивление окружающей среды.

Дифференциальное уравнение адиабатического нагрева однородного тела:

На рис.2 представлена «электрическая схема», в которой электрические переходные процессы описываются дифференциальным уравнением подобному дифференциальному уравнению адиабатического нагрева однородного тела.

Рис.2. «Электрическая схема» теплового переходного процесса адиабатического нагрева однородного тела (а) и моделируемое однородное тело (б) – проводник.