Министерство образование и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Ульяновский Государственный Технический Университет

Кафедра «Электроснабжение»

ОТЧЕТ

По учебной исследовательской работе студентов

«Исследование адиабатического процесса нагрева неоднородного тела»

Выполнил: студент группы Эд-42 Шведов А.Н.

Проверил : Александров Д.С.

Ульяновск 2011

Адиабатический нагрев неоднородного тела.

Исследовать процесс адиабатического нагрева неоднородного тела, состоящего из токопроводящей жилы и изоляции, при независимом сопротивлении проводникового материала жилы от температуры нагрева R_ж, независимой общей теплоемкости проводникового материала жилы от температуры нагрева С_о.ж, независимой общей теплоёмкости изоляции от температуры нагрева С_о.из., постоянном значении тока Iисточника питания и без учёта реактивного сопротивления цепи короткого замыкания X:

а) Получить дифференциальное уравнение процесса нагрева неоднородного тела при перечисленных выше условиях.

Исходные данные

Модель неоднородного теле приведена на рис. 1.

Рис.1. Поперечный разрез неоднородного тела, состоящего из круглого проводника (первое тело) и изоляции в форме кольца (второе тело)

Исходные данные по параметрам процесса:

Токопроводящая жила (первое тело)						Изоляция (второе тело)
I	Rж	X	Pж	Cж	Cо.из
const	const	0	Pж=I2R	const	const

Примечание:

1. I – значение тока источника питания.

P_ж = I²R – выделяемая в теле мощность, где R–значение сопротивления тела.

2. Температура окружающей среды –θ₀ = const.

3. Начальные условия – при t = 0, τ = τ_нач – начальное значение превышения температуры.

Исходные данные по дополнительным параметрам процесса:

- рассмотреть случай передачи тепла от токопроводящей жилы к изоляции при отсутствии теплового сопротивления между перечисленными телами.

- принять текущую температуру изоляции θ_из неизменной по всему сечению.

б) Получить зависимости τ = f(t) и t = f(τ) в условиях адиабатического нагрева путем интегрирования дифференциального уравнения процесса нагрева с помощью системы компьютерной математики. Причем предварительно выразить зависимости τ = f(t) и t = f(τ) через параметры режима теплового процесса τ_у, k, T.

в) Получить оценку «постоянной времени» Т.

г) Сравнить в аналогичных условиях зависимости τ = f(t) и t = f(τ) при независимых от температуры нагрева и приведённых выше условиях нагрева.

Решение.

Получим уравнение адиабатического нагрева неоднородного тела:

1

2

dQ₁ = dQ_1c + dQ_1-2;

dQ_1-2 = dQ_2c + dQ_{отв.окр.среде} ,

н о, так как в нашем случае происходит адиабатический процесс, то

dQ₁ = dQ_1c + dQ_1-2;

dQ_1-2 = dQ_2c.

Н

Q1

Q2

R_из/2

R_из/2

арисуем электрическую схему замещения данного тела (рис.1).

R_отвод

Р

С_ж

С_из

Т-образная схема замещения

Перейдем к Г-образной схеме (они равнозначны).

Г-образная схема замещения

Дифференциальное уравнение адиабатическое нагрева:

Решение данных уравнений

Рис.2. «Электрическая схема» теплового переходного процесса адиабатического нагрева неоднородного тела (а) и моделируемое неоднородное тело (б) – проводник.

Р = I²R– выделяемая в проводнике током Iмощность потерь, где R– значение сопротивления проводника;

Q– выключатель, обеспечивающий возникновение переходного процесса; 1– точка «высокого потенциала», соответствующая в нагреваемом проводнике текущей температуре θ_ж; τ₁ = (θ_ж – θ₀) – «разность потенциалов» между точкой «высокого потенциала проводника (жилы)» θ_ж и точкой «нулевого потенциала» - 0, соответствующей температуре окружающей среды θ₀; С₁ – общая теплоемкость проводника; 2 – точка «высокого потенциала изоляции», соответствующая в нагреваемом проводнике текущей температуре θ_из и точкой «нулевого потенциала» - 0, соответствующей температуре окружающей среды θ₀; С₂ – общая теплоемкость изоляции; – тепловое сопротивление изоляции.

Система дифференциальных уравнений, соответствующая адиабатическому нагреву

;

,

где W = I²R.

Преобразуем эту систему уравнений, получим

Введем следующие параметры процесса:

T₁ = R₁₂C₁; T₂ = R₁₂C₂; d = .

С учетом принятых обозначений система примет вид

Для решения системы используем операторный метод.

Найдем изображение системы

Преобразуем систему

Эта система представляет собой систему алгебраических уравнений. Решаем её с помощью системы компьютерной математики Derive.

1. Решение системы двух уравнений (адиабатический нагрев неоднородного тела с постоянными параметрами С1, С2, P=I²R)

(p+1/T1)τ1(p) - (1/T2)τ2(p) = D/p+τ1нач

- (1/T2)τ1(p) + (p+1/T2)τ2(p) = τ2нач

1.1. Решение системы двух уравнений с помощью оператора “solve”

#2: SOLVE([( ], [τ1s, τ2s])

#3:

2. Преобразование τ1sи τ2sдля последующего получения оригинала указанных температур с помощью команд соответственно “Expand” и “Factor”

#4:

#5:

#6:

#7:

#8:

#9:

Mathcad