§10. Эффективная масса электронов в кристаллах.

В квантовой механике, как известно трансляционное движение электронов в кристалле под действием внешнего электрического поля можно описывать как распространение волнового пакета со скоростью:

(1)

Под действием силы внешнего электрического поля всякий электрон кристалла должен двигаться ускоренно:

,

, (2)

.

(3)

; тогда (2) принимает вид:

,

, (4)

.

(5)

Т.к. зависимость анизотропная, т.е. не одинакова в разных направлениях зоны Бриллюэна, то величиныв общем случае различны их значения образуют компоненты тензораII-го ранга:

Из (4) видно, что имеют размерность массы, а сами уравнения (4) выражают собой второй закон Ньютона для электронов кристалла под действием силы внешнего электрического поля. Из (4) следует, что под действием силы внешнего электрического поля электрон в периодическом поле кристалла, движется как двигался бы свободный электрон под действием этой силы если бы он имел массу (3). Величиныявляются компонентами тензора эффективной массы электронов в периодическом поле кристалла. С ее введением можно считать, что связанный электрон, под действием внешнего электрического поля, движется как свободный электрон, т.е. электрон не чувствует периодического поля кристаллической решетки и его движение можно описывать теми же законами, как и движение свободного электрона перемещающегося в анизотропной среде.

, .

Найдем эффективную массу свободного электрона, для которого закон дисперсии следующий:

, ,

,

Обычно записывают тензор обратной эффективной массы:

Так как вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то симметричный тензор II–го ранга обладает следующим свойством: оси координат в пространстве можно выбрать так, что все внедиагональные элементы будут равными нулю. Такие оси получили название главных осей координат. Впредь будем считать, что эффективная масса приведена к главным осям координат, тогда тензор обратной эффективной массы будет иметь вид:

В общем случае характеризуется тремя компланарными отличными от нуля векторами, где главные оси координат.

§11. О состояниях между эффективными массами связанных и свободных электронов кристалла.

Для примера качественно оценим эффективные массы в кристаллах Na. Электронами заполнены зоны 1s, 2s, 2p, 3s.

Произведем оценку эффективных масс для 1s и 3s. Скорость трансляционного движения электронов к каждой из зон равна:

(1)

- ширина разрешенной зоны.

(2)

(3)

(4)

(5)

, скорость электронов в 3s зоне , тогда из (5) следует, что эффективная масса электронов равна; скорость электронов в 1s зоне ,.

Из (1) видно, что скорость электронов под действием электрического поля тем больше, чем больше ширина зоны, а из (5) следует, что эффективная масса тем меньше, чем больше скорость, т.е. чем больше ширина зоны. Эффективная масса в широких зонах будет меньше.

Энергия внешнего электрического поля приложенного к кристаллу расходуется на изменение энергии электронов кристалла. При этом изменяется как кинетическая, так и потенциальная энергия электронов в кристалле. Полная энергия электрона сложным образом зависит от вектора и в разных кристаллах по разному, и следовательно эффективная масса электронов в каждой зоне зависит от волнового вектора, только в окрестности экстремальных точек каждой зоны эффективные массы не зависят от вектора. Экстремальными называют те точки зоны Бриллюэна, которые соответствуюти.

Действительно, в окрестности экстремальных точек, выражается параболической зависимостью, т.е.. Для этого разложимв ряд Тейлора в окрестности экстремальных точек и ограничимся первыми тремя членами разложения. Первая производная равна: . Тогда зависимость вблизи дна зоны проводимости будет иметь вид: ,A > 0.

Зависимость вблизи потолка валентной зоны будет иметь вид:

, B > 0.

Здесь отсчитывается от тех точек зоны Бриллюэна, где имеются,. Тогда эффективная масса электронов в окрестностибудет равна:

.

Эффективная масса электронов в окрестности будет равна:

Кроме того, эффективная масса может быть как больше, так и меньше или же равна массе свободного электрона. Физическая причина такого поведения эффективной массы заключается в том, что под действием электрического поля меняется как кинетическая, так и потенциальная энергия электронов кристалла.

Будем обозначать через полную, кинетическую и потенциальную энергию электрона до приложения электрического поля, а черезсоответственно после приложения электрического поля. Черезбудем обозначать энергию внешнего электрического поля, передаваемого электронам кристалла. Для свободного электрона энергияидет только на изменение кинетической энергии: в отсутствии , после. В кристаллах под действием электрического поля, движение связанных электронов меняется так, что энергияможет затрачиваться как на изменение кинетической, так и потенциальной энергий.

Рассмотрим четыре случая, которые могут иметь место в кристалле:

1) Под действием внешнего электрического поля кинетическая энергия увеличивается не только за счет энергии , но и за счет перехода части потенциальной энергии в кинетическую, тогда полная энергия электрона будет равна:

Отсюда следует, что изменение скорости связанного электрона под действием электрического поля будет больше чем для свободного электрона. Запишем второй закон Ньютона для свободных и связанных электронов, на которые действует одна и та же сила F: ,,,.

2) В кристалле под действием электрического поля может реализоваться следующий случай, что часть энергии внешнего электрического поля будет затрачиваться на увеличение потенциальной энергии электрона:

В этом случае изменение скорости движения связанного электрона под действием внешнего электрического поля будет меньшим, чем для свободного электрона, тогда: ,,,.

3) В некоторых кристаллах может реализовываться такой случай, что в присутствии внешнего электрического поля, потенциальная энергия кристалла увеличивается не только за счет энергии но и за счет перехода части кинетической энергии в потенциальную:

Из этого соотношения следует, что под действием электрического поля скорость электронов уменьшается, тогда: ,,.

4) В кристалле может реализоваться и такой случай, что энергия внешнего электрического поля идет только на изменение кинетической энергии, а потенциальная энергия в поле не меняется, тогда:

, ,,,.

Эффективная масса электронов в общем случае зависит от вектора зоны Бриллюэна, только в экстремальных точках эффективная масса постоянна, т.е. не зависят от, это очень важно потому, что в частности состояние вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны определяет большинство физических свойств полупроводника.