§8. Инверсионная симметрия энергетических зон и приведенная зона Бриллюэна.

Кривые зависимости для различных энергетических зон отличаются друг от друга, но энергия в каждой зонеnявляется четной функцией волнового вектора, т.е.. Действительно, рассмотрим одноэлектронное уравнение Шредингера для связанного электрона в кристалле.

(1)

,,- функция Блоха.

Наряду с уравнением (1) рассмотрим комплексно сопряженное уравнение Шредингера:

(2)

Так как иявляется вещественными, то знаки комплексного сопряжения можно опустить, тогда (2) принимает вид:

(3)

Функция входящая в (3) является Блоховской, потому что ей соответствует оператор, инвариантный относительно трансляции на собственные вектора

,(4)

Значит, Блоховской функции соответствует волновой вектор. Сравнивая уравнения (1) и (3) приходим к выводу, что, т.е. энергия в каждойnзоне является четной функцией волнового вектора или иными словами, каждая энергетическая зона кристалла обладает инверсионной симметрией относительно точки Г, центра первой зоны Бриллюэна..

Следовательно, приведенный на рисунке §7 энергетический спектр электронов кристалла обладает зеркальной симметрией относительно оси ординат. Нами показано в §6, что энергия электронов в каждой зоне является периодической функцией с периодом обратной решетки:

(5)

Для одномерного кристалла период обратной решетки равен . При этом обратная решетка является одномерной

(6)

Пунктирными линиями на рисунке §7 отражен факт периодичности энергий в обратном пространстве решетки. В связи с периодичностью функции, соотношение (5), нет необходимости изображать все зоны Бриллюэна, а можно использовать только первую зону Бриллюэна, в которой приведены кривые,… В этом случае первая зона Бриллюэна получает название приведенной зоны Бриллюэна. Используя приведенную зону Бриллюэна можно получить всю энергетику кристалла. В этом случае энергетический спектр кристалла будет качественно выглядеть так, как показано на рисунке.

§9. Металлы, диэлектрики и полупроводники с точки зрения зонной теории твердых тел.

Нами показано, что твердые тела имеют многозонный спектр энергии. Зонная теория твердых тел стала путеводной звездой для ученых и инженеров работающих в области твердотельной электроники, она позволяет не только объяснить удивительные свойства полупроводников но и позволяет предсказать как их можно радикально изменить. Представим себе кристалл, состоящий изNодинаковых элементов, каждый из которых содержитzэлектронов. Все эти электроны размещаются на энергетических уровнях соответствующих зонам кристалла. В первую очередь заполняются электронами зоны с наименьшей энергией, это электроны находящиеся непосредственно возле ядер, затем заполняются зоны с более высокими энергиями, пока не будут размещены всеzNэлектроны. На каждом энергетическом уровнесвободного (изолированного) атома могут находиться 2(2l+1) электронов:наs(l = 0) 2 электрона, наp (l = 1) 6 электронов, на d (l = 2) 10 электронов. При сближении атомов на месте одиночных уровней,,,,,образуются энергетические зоны:1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d…В каждой зонеNэнергетических уровней, значитs– зоны могут вместить 2Nэлектронов,p – зоны 6Nэлектронов,d– зоны 10Nэлектронов и т.д. (смотри рисунок).

В зависимости от характера заполнения электронами верхней зоны все твердые тела делятся на три группы:металлы, диэлектрики, и полупроводники. У некоторых твердых тел самая верхняя зона, содержащая электроны может быть заполнена частично, т.е. у нее имеется часть свободных уровней. Приложим к такому кристаллу внешнее электрическое поле, известно, что в конце длины свободного пробега под действием внешнего электрического поля, электроны приобретают энергию от 10^-4до 10^-8эВ. Эта энергия значительно больше, чем расстояние между соседними уровнями зоны (10^-22эВ). В связи с этим электроны верхней зоны переходят на свободные уровни с более высокой энергией (смотри рисунок). При этом электрон пространственно смещается по направлению против электрического поля, что указано стрелкой. Если смещающиеся электроны непрерывно отводить от тела, что возможно в электрической замкнутой цепи, то квантовые переходы электронов, которые указаны стрелкой, будут происходить непрерывно долго, пока в цепи будет источник внешнего поля. Таким образом, твердые тела с указанным характером заполнения верхней зоны будут хорошо проводить электрический ток, такие тела являютсяметаллами. При этом проводимость металла не возрастает с ростом температуры, наоборот, с понижением температуры электропроводность увеличивается. При комнатной температуре проводимость“хороших”металлов.

Представим себе кристаллы Na, их атомы имеют следующую электронную структуру:Na(z= 11) = 1s² 2s² 2p⁶ 3s¹. Видно, что уровень 3sсодержит один валентный электрон. При образовании кристаллаNaэнергетические уровни,,,превращаются в зоны 1s, 2s, 2p, 3s. Последняя зона 3sбудет содержатьNэлектронов, а способна вместить 2Nэлектронов, следовательно, последняя зона будет заполнена на половину, следовательно, кристаллыNaбудут являться металлами. У некоторых кристаллов металлическая проводимость обусловлена тем, что самая верхняя зона, заполненная электронами перекрывается со следующей пустой зоной.

У многих твердых тел самая верхняя зона содержащая электроны может быть заполнена полностью электронами, а следующая за ней зона полностью пустая и отделена от предыдущей зоны большим промежутком запрещенных энергий . Такие твердые тела получили названиедиэлектриков(изоляторов).

Вэтом случае основная полностью заполненная зона называется валентной (V– зона), а следующая за ней пустая зона разрешенных энергий называется зоной проводимости (C– зона). Промежуток запрещенных энергий, который разделяет валентную зону и зону проводимости называется запрещенной зоной. Ширина этого промежутка,где- дно зоны проводимости,- потолок валентной зоны. ПриT= 0K⁰диэлектрик не проводит электрический ток. При повышении температуры диэлектрика, электроны валентной зоны начинают взаимодействовать с колебаниями кристаллической решетки и получают от нее энергию ~KT, но некоторые электроны получают значительно большую энергию. Процесс передачи энергии электронам – статистический. Тем неменее, число электронов, которые получают от решетки энергиюничтожно мало. Значит, будет ничтожно мало число электронов, которые способны перейти за счет тепловых переходов из валентной зоны в зону проводимости. Таким образом, твердое тело с большой шириной запрещенной зоны плохо проводит электрический ток, их проводимость примерно равна, в лучшем случае электропроводность может быть активирована высокой температурой. Исходя из зонной схемы диэлектрика, можно сказать, что валентная зона и зона проводимости не перекрываются.

Если у твердого тела при T= 0K⁰ самая верхняя зона полностью заполнена, а следующая за ней зона проводимости пустая и отделена от предыдущей зоны не широким промежутком запрещенных энергий, то твердое тело называетсяполупроводником. Как видно принципиальной разницы между диэлектриком и полупроводником нет. При достаточно высоких температурах у полупроводников могут иметь место тепловые переходы из валентной зоны в зону проводимости за счет взаимодействия валентных электронов с ионами кристаллической решетки. Электроны, перешедшие из валентной зоны в зону проводимости, могут участвовать в переносе электрического тока. Появившиеся свободные уровни в валентной зоне (вакансии) будут также участвовать в переносе электрического тока. Носителями тока в валентной зоне являются дырки. Таким образом, проводимость полупроводника является активированной. ПриT= 0K⁰ полупроводники как и диэлектрики не проводят электрический ток. Чем меньше, тем выше при прочих равных условиях электропроводность полупроводника. Электропроводность полупроводника лежит в широком диапазоне значений:

.