
- •Глава II. Элементы зонной теории твердых тел.
- •§1. Энергетический спектр изолированных атомов.
- •§2. Адиабатическое приближение в квантовой теории твердых тел.
- •§3. Одноэлектронное приближение в квантовой теории твердых тел.
- •§4. Квантовая теория свободных электронов кристалла.
- •§5. Волновая функция связанных электронов кристалла.
- •§6. Волновые вектора связанных электронов кристалла.
- •§7. Образование энергетических зон электронов в периодическом поле кристалла.
- •§8. Инверсионная симметрия энергетических зон и приведенная зона Бриллюэна.
- •§9. Металлы, диэлектрики и полупроводники с точки зрения зонной теории твердых тел.
- •§10. Эффективная масса электронов в кристаллах.
- •§11. О состояниях между эффективными массами связанных и свободных электронов кристалла.
- •§12. Собственные полупроводники, понятие о дырках.
- •§13. Примесно – дефектные состояния в полупроводниках. Полупроводники n и p типов проводимости.
- •§14. Элементарная теория мелких примесных состояний полупроводника.
- •§15. Зонная структура полупроводника в пространстве.
§7. Образование энергетических зон электронов в периодическом поле кристалла.
Для
определенности рассмотрим кристалл в
виде линейной цепочки периодически
расположенных атомов (одномерный
кристалл). Пустьa
– период кристалла.
Обратная
решетка такого кристалла будет также
линейной (одномерной) с периодом равным
.
Первая
зона Бриллюэна занимает интервал от
до
,
вторая зона Бриллюэна занимает интервал
от
до
и от
до
,
третья зона Бриллюэна занимает интервал
от
до
и от
до
.
Рассмотрим
с квантово-механической точки зрения
трансляционное (направленное) движение
связанного электрона такого одномерного
кристалла под действием внешнего
электрического поля
,
действующего вдоль цепочки атомов.
Движение электрона под действием поля
будем рассматривать не как движение
микрочастицы, а как распространение
электромагнитной волны вдоль цепочки
атомов, в положительном направлении
осиx,
такую ситуацию можно создать в трех
мерном кристалле, если приложить поле
вдоль цепочки одинаковых атомов
кристалла.
Связанный
электрон кристалла, как коллективизированная
частица локализован в достаточно большой
области пространства:
∆x
~ L,
тогда в соответствии с соотношением
неопределенности ∆x∆p
~ ħ, неопределенность значения импульса
связанного электрона и его энергии
очень мала, потому что ∆x
велико;
следовательно в этом случае состояние
связанных электронов можно описывать
путем суперпозиции стоячих волн с
близкими значениями волновых векторов;
т.е. состояние связанного электрона мы
можем описывать с помощью волнового
пакета, движущегося со скоростью
.
С этой скоростью и перемещается электрон
под действием электрического поля.
Свободный электрон кристалла под
действием электрического поля движется
так, что его энергия в зависимости от
волнового вектора
изменяется по параболическому закону:
.
Выясним
в общих чертах характер зависимости
энергии связанных электронов от волнового
вектора
.
Для упрощения подхода к решению этой
задачи заменим реальный потенциальный
рельеф цепочки атомов системой
потенциальных прямоугольных ям,
находящихся друг от друга на расстоянииa
и разделенных прям
оугольными
потенциальными барьерами одинаковой
толщины.
Пусть
связанный электрон под действием
внешнего электрического поля с силой
начинает трансляционное движение из
состояния характеризуемого, например
и
.
Пусть электрическое поле направлено
вдоль осиOX,
как показано на рисунке. В данном случае
связанные элементы движутся перпендикулярно
стенкам потенциальных ям. На пути
внешнее поле производит работу:
,
она затрачивается на изменение энергии
электрона:
(1)
Скорость трансляционного движения электрона определяется скоростью движения волнового пакета:
(2)
Из (1) следует, что
(3)
Подставляя (3) в (2), получим:
(4)
Или в векторной форме:
(5)
Изменение
волнового вектора
совпадает с направлением силы
.
Из (1) и (2) следует, что со временем значение
волнового вектора увеличивается. В
соответствии с соотношением
,
увеличение значения вектора
соответствует уменьшению длины
электронной волны.
Электронная
волна в кристалле частично отражается
от всех стенок потенциальных барьеров,
унося с собой часть энергии электрона.
До тех пор пока не выполнится условие
Вульфа - Брэггов:,
.
Отраженные волны
будут иметь различные фазы. Накладываясь
друг на друга они будут гасить эти волны
и следовательно, прямая волна будет
распространяться по кристаллу почти
не рассеиваясь. Т.е. связанный электрон,
параметры которого удовлетворяет
соотношению Вульфа – Брэггов, будет
двигаться как свободный электрон. Его
энергия
зависит от волнового вектора параболично.
В нашем случае электронная волна
перпендикулярна стенкам потенциальных
барьеров:
.
Следовательно, соотношение Вульфа –
Брэггов для нашего случая имеет вид:
(6)
Из (6) следует, что волновой вектор лежит на границе зон Бриллюэна, n = 1– на границе первой зоны Бриллюэна,n = 2– на границе второй зоны Бриллюэна и т.д.
Когда со временем
значение волнового вектора
будет принадлежать и соотношению (6), то
фазы отраженных электронных волн будут
иметь близкие значение и следовательно,
отраженные волны будут ослаблять прямую
волну. Когда значение волнового вектора
в точности удовлетворяет условию Вульфа
– Брэггов (6) интенсивность отраженной
электронной волны будет совпадать с
интенсивностью прямой волны.
Кроме того, эти
волны имеют одинаковую частоту и
поляризацию, т.е. в кристалле образуются
две бегущие волны, распространяющиеся
в противоположных направлениях. В
результате суперпозиции этих волн
образуется стоячая волна. Значит, когда
,
электронные волны в кристалле – стоячие
волны.
Из двух бегущих
волн, как известно можно сформировать
две стоячие волны, которые будут являться
решением уравнения Шредингера для
связанных электронов кристалла при
:
(7)
(8)
Знак “+” означает,
что функция- четная относительноx,“-” означает, что функция
- нечетная относительноx.
Значит, в точке
имеется два решения уравнения Шредингера,
которому соответствует два разных
значений энергий
,
т.е. в точке
на границе зон Бриллюэна имеется скачок
энергий. Величину скачка обозначим:
.
Скачок энергии
объясняется тем, что в этом случае
имеются группировки элементов в разных
по отношению к положительным ионам
областям пространства. Функция
дает пучности плотности электронного
заряда в точках кристалла, соответствующих
центрам положительных ионов, уменьшая
тем самым их потенциальную энергию.
Функция
дает пучности плотности электронного
заряда в точках кристалла по средине
между соседними атомами.
Действительно
плотность электронного заряда в точке
или
.
- плотности зарядов.
(9)
(10)
Положение центров ионов:,
Положение точек на середине между
соседними атомами:
,
Легко
показать, что
и
имеют максимальное значение в точках:
и
соответственно.
,
Значит, состояниям
связанного электрона, характеризуемые
волновыми векторами от 0 до
(пол первой зоны Бриллюэна), соответствует
интервал разрешенных энергий
,
минимальное значение энергии в котором
,
а максимальное значение энергии обозначим
.
Состояниям электрона в интервале от
до
(пол второй зоны Бриллюэна) соответствует
интервал разрешенных энергий
,
минимальное значение в котором
,
а максимальное значение
.
В точке
имеет место скачок энергий равный
.
Энергию внутри интервала
электрон не может иметь, это зона
запрещенных энергий. Состояниям электрона
в интервале от
до
(пол третьей зоны Бриллюэна) соответствует
интервал разрешенных энергий
,
минимальное значение в котором
,
а максимальное значение
,
и т.д.
Совокупность
разрешенных энергий:
,
,
и т.д. образуют зоны разрешенных энергий
кристалла (или разрешенные энергетические
зоны). Промежутки энергий:
образуют зоны запрещенных энергий
кристалла (смотри рисунок). На этом
рисунке показана качественная зависимость
энергии электронов в периодическом
поле одномерного кристалла.
Вблизи точки Г
.
Очевидно первую зону энергии будут
занимать сильно связанные электроны,
т.е. те которые будут непосредственно
возле ядра атомов. Вторую зону занимают
электроны, которые находятся дальше от
ядра и т.д. Самая верхняя заполненная
зона будет содержать валентные электроны.
Валентные электроны“чувствуют”влияние соседних атомов кристалла,
поэтому их зона будет более широкой.