§6. Волновые вектора связанных электронов кристалла.

Как следует из (12) волновая функция связанных электронов кристалла зависит от волнового вектора , различным значениям векторасоответствует, вообще говоря, разные волновые функции.В теории твердых тел волновые вектора выступают в качестве квантовых чисел определяющих состояние электронов в периодическом поле кристалла. Запишем равенство, которое связывает волновые функции с вектором:

(1)

(1) единственное условие определяющее волновой вектор , но равенство (1) выполняется если векторзаменить на эквивалентный вектор

(2)

Значит, вектора определяющие состояния связанных электронов кристалла вводятся с точностью до свободных векторов обратной решетки, т.е. состояние связанных электронов, с волновыми векторамиифизически не различны, следовательно все физические величины определяющие состояния электронов в периодическом поле кристалла периодичны с периодом обратной решетки:

, .

Совокупность не эквивалентных векторов, которые однозначно определяют состояние электронов в периодическом поле кристалла, образуют в обратном пространстве область, которая называется первой зоной Бриллюэна.

В первой зоне Бриллюэна содержится бесконечное число волновых векторов , но очевидно, что в кристаллах конечных размеров состояние связанных электронов должны характеризоваться конечным числом разрешенных волновых векторов, найдем это число.

Конечные размеры реальных кристаллов нарушают его трансляционную симметрию относительно векторов. Для ее сохранения в кристаллах конечных размеров вводят так называемые граничные циклические условия Кармана – Борна. Представим себе, что реальный кристалл имеет форму параллелепипеда со сторонами, направленными вдоль базисных векторов (кристаллографических осей),N>>1. Представим к такому кристаллу бесконечное множество таких же кристаллов и получим кристалл бесконечных размеров, для которых сохраняется трансляционная симметрия (смотри рисунок).

Кристаллы ничем не выделены, они не “чувствуют” границы, очевидно при трансляции кристалла на вектора физические точки кристалла, напримерA, совмещаются с физически эквивалентными точками A₁, A₂ соседних кристаллов.

, ,,.

Как известно первой зоне Бриллюэна принадлежат вектора удовлетворяющие неравенству ,,, следовательно,принимаетN значений.

Значит, проекции разрешенных векторов первой зоны Бриллюэна на любой базисный векторимеет дискретный ряд значений и число этих значений равноN, отсюда следует, что число разрешенных значений волновых векторов однозначно характеризующих состояние связанных электронов кристалла конечных размеров равно N³, т.е. равно числу элементарных ячеек кристалла.

Разность значений двух соседних разрешенных волновых векторов очень мала в направлении для векторов параллельных базисным векторам, эта разность составляет.L – линейные размеры кристалла в направлении базисного вектора.

Действительно, , если, тогда,

, ,.

Поэтому дискретность волновых векторов не проявляется на опыте (зависимость какой-нибудь физической величины от волнового вектора называется спектром этой величины), следовательно, такие спектры являются практически непрерывными, квазинепрерывными.