§14. Элементарная теория мелких примесных состояний полупроводника.

Как известно, мелкие примесные состояния такие, у которых энергия ионизации значительно меньше ширины запрещенной зоны .

Для определенности будем рассматривать полупроводник с мелкой донорной примесью, все выводы полученные для него будут верны для полупроводника с мелкой акцепторной примесью. Как известно орбита валентного электрона мелкого донора охватывает несколько постоянных решеток кристалла. В этом случае можно считать, что положительный ион донора взаимодействующий с валентным электроном погружен в диэлектрическую среду кристалла полупроводника. Тогда взаимодействие валентного электрона и иона можно считать по законам кулоновского взаимодействия точечных центров, следовательно, потенциальная энергия взаимодействия валентного электрона с положительным ионом будет равна:

- диэлектрическая проницаемость кристалла. Тогда полная потенциальная энергия мелкого донора будет равна:

(1)

Запишем стационарное уравнение Шредингера для валентного электрона мелкого донора:

(2)

Запишем (2) в приближении эффективной массы, влияние периодического поля кристалла учтем заменой

(3)

(3) совпадает с уравнением атома водорода, если заменить ,. Значит, решение уравнения (3) такое же, как для атомаH, только при соответствующих заменах.

, (4)

Из (4) следует, что энергия мелкого донора квантуется, состояние с - это основное состояние и ему соответствует энергия:

(5)

Тогда энергия ионизации в основном состоянии равна:

(6)

Из (6) следует, что энергия ионизации мелких доноров не зависит от их сорта, т.е. что энергия ионизации одинакова для любой мелкой примеси в данном кристалле. Энергия ионизации возбужденного состояния мелкого донора рвана:

, ,, то.

На рисунке показана энергетическая диаграмма кристалла с донорной примесью. Для того чтобы экспериментально обнаружить состояние мелких доноров нужно использовать низкие температуры и технику миллиметрового диапазона.

§15. Зонная структура полупроводника в пространстве.

Как известно энергия электронов во всех разрешенных зонах полупроводника есть функция волнового вектора из первой зоны Бриллюэна. Зависимостьназывается законом дисперсии. По существу эта зависимость от длины волны. Дисперсионные кривые валентной зоны и зоны проводимости являются важнейшими характеристиками полупроводника. При этом важно знать зависимостьне во всей зоне Бриллюэна, а только в небольшой ее части, вблизи абсолютных экстремумов зоны проводимости и валентной зоны, т.е. вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.

Влюбой зоне характер зависимостивблизи точки экстремума определяется формой изоэнергетической поверхности. Эта такая поверхность, которая проведена через концы волновых векторовзоны Бриллюэна, которым соответствует заданная энергия. В любой зонеявляется четной функцией волнового вектора, значит, любые изоэнергетические поверхности имеют центр симметрии. Аналитическую форму изоэнергетической поверхности можно получить следующим образом. Пусть экстремум невырожденной зоны лежит в точкезоны Бриллюэна. Разложимв ряд Тейлора вблизи окрестности точки, приведя разложение к главным осямX, Y, Z. При этом

.

Ограничимся первыми тремя членами, тогда

(1)

(2)

- уравнение изоэнергетической поверхности. Тогда из (2) получаем уравнение изоэнергетической поверхности:

(3)

(3) – уравнения эллипсоида с центром в точке .

Компоненты могут быть связанны условием симметричности изоэнергетической поверхности. Для примера рассмотрим кубические кристаллы типаA₂B₆, A₃B₅, кристаллы типа алмаза. Абсолютный минимум кристалла типа сфалерита лежит в точке , т.е. в центре зоны Бриллюэна, тогда (3) равно:

(4)

Свекторомсвязаны три оси четвертого порядка зоны Бриллюэна (усеченный октаэдр). С осями симметрии четвертого порядкасвязаны повороты на 90⁰, 180⁰, 270⁰, 380⁰. При этих поворотах вектор остается неизменным. Повороты вокруг этих осей совмещают кристаллическую решетку саму с собой, следовательно, и физические свойства, а также уравнения описывающие эти свойства остаются инвариантными относительно этих преобразований, т.е. уравнения описывающие изоэнергетические поверхности должны оставаться неизменными при этих преобразованиях.

Для примера совершим поворот вокруг оси на 90⁰: , (4) примет вид:

(5)

Но (4) и (5) одинаковы, тогда . Совершим поворот вокруг осина 90⁰: , следовательно, все компоненты равны: , тогда соотношение (5) примет вид:

(6)

Значит эффективная масса изотропная величина. Тогда закон дисперсии:

(7)

Закон дисперсии параболический. На сфере будут лежать волновые вектора с одинаковыми значениями модуля эффективной массы. В этом случае характеризуется четырьмя компонентами, т.е. она изотропна (эффективная масса такого экстремума сферическая).

Кристаллы с кубической решеткой типа алмаза: германий и кремний не прямозонные полупроводники. У них минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны находятся в разных точках зоны Бриллюэна. Зона Бриллюэна у них тоже усеченный октаэдр. Например, у кристаллов кремния максимум валентной зоны находится в центре зоны Бриллюэна, а минимум зоны проводимости на оси , которая совпадает с осью симметрии четвертого порядка (смотри рисунок). Минимум зоны проводимости лежит на линии, на расстоянии от начала координат, т.е. модуль вектора . Вектор связан только с одной осью симметрии четвертого порядка, например на рисунке вектор связан только с осью симметрии . Произведем поворот вокруг оси и получим, что , .

В этом случае мы не имеем право вращать вокруг оси икак в предыдущем случае, потому что вектор принадлежит только одной оси, тогда уравнение (5) приобретает вид:

(8)

Видно, что изоэнергетическая поверхность является эллипсоидом вращения с осью.- поперечная компонента эффективной массы электронов,- продольная компонента эффективной массы электронов. Значит, у кристаллов кремния абсолютный экстремум зоны проводимости характеризуется двумя компонентами эффективной массы:,.