Глава II. Элементы зонной теории твердых тел.

§1. Энергетический спектр изолированных атомов.

Изолированные атомы представляют собой динамическую систему, состоящую из неподвижного ядра и вращающихся вокруг него электронов. Ирншоу доказал, что система точечных неподвижных зарядов находящихся, на конечных расстояниях друг от друга не является устойчивой системой, т.е. их потенциальная энергия не может иметь минимум, а атомы представляют собой устойчивую систему, следовательно, согласно теоремы Ирншоу они являются динамическими системами. Полная энергия атома равна ,T– кинетическая энергия электронов,U– потенциальная энергия взаимодействия электронов с ядром и друг с другом. Для определенности рассмотрим атом с простейшей архитектурой – атом водорода (H), у него вокруг протона +1eвращается электрон –1e.

,;r– расстояние от электрона до центра ядра,U– имеет сферическую симметрию. Если,, то движение электронаeявляется связанным. Если,, то движение электронаeявляется свободным. Видно, что,.

Точную характеристику о состояниях электронов в атомах можно получить с помощью квантовой механики, учитывающую волновые свойства частиц. Состояния электронов в атомах можно описывать с помощью волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера. Однако в общем случае решение уравнения Шредингера это сложная задача, она легче решается для стационарных условиях электрона. Стационарная задача не описывает процессы, она описывает структуру системы в которой могут протекать процессы.

Полную волновую функцию электрона атома водорода в стационарном состоянии можно представить в виде произведения:

(1)

- полная энергия электрона вnсостоянии.

Амплитудная часть волновой функции должна удовлетворять стационарному уравнению Шредингера:

(2)

(3)

(4)

,n= 1,2,3… (5)

Из (4) следует, что атом водорода имеет дискретный спектр энергий, промежуточное состояние электрон принимать не может.

. Состояние с такой энергией называется основным состоянием. В этом состоянии атом имеет максимальную устойчивость. А состояния с энергиями,называются возбужденными.

- энергия ионизации водорода.

Соотношение (5) определяет энергию электрона в связанном состоянии, как видно эта энергия квантуется. Дискретность энергии связанного электрона является следствием проявления его волновых свойств. Движения такого электрона схожи со стоячей волной. Стоячая волна – это волна, получающаяся в результате интерференций двух одинаковых волн распространяющихся в противоположных направлениях. В связанном состоянии электронная волна распространяется в ограниченном объеме (в объеме атома). Как известно в этом случае стоячие волны могут иметь только определенное значение длин волн ,.

Из последнего соотношения следует, что λ стоячих электромагнитных волн принимает ряд дискретных значений и следовательно, и энергия связанного электрона принимает ряд дискретных значений.

Движение свободного электрона можно описывать бегущей волной, распространяющейся в неограниченном пространстве, а бегущая волна может принимать любое значение λ, следовательно, энергия свободного электрона не квантуется.

Если электрон переходит из основного состояния в возбужденное, то он поглощает энергию: . Если электрон переходит из возбужденного состояния в основное, он испускает квант энергии.

Состояние электрона в атоме водорода с энергией имеет кратность вырождения равной 2n²,n– основное квантовое число. Под кратностью вырождения следует понимать число различных состояний при данном значении энергии. Для электрона атома водорода, энергия зависит только от основного квантового числаn, следовательно, вырождение будет определяться числом различных значений орбитального (l), магнитного (m) и спинового (s) квантовых чисел.

В многоэлектронном атоме потенциальная энергия атома определяется не только взаимодействием электронов с ядром, но и взаимодействием друг с другом. В связи с этим энергия электронов зависит от дух квантовых чисел (n, l). Кратность вырождения состояниябудет определяться числом различных квантовых чиселmиs. При данном квантовом числеl, кратность вырождения 2(2l+1).