15. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

            Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

 

            Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

16. Уравнения плоскости в пространстве.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве  можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид уравнения плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору , называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости  вектор  ортогонален (перпендикулярен) вектору , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

 

 или .

 

Общее уравнение плоскости

После преобразования, уравнение

 

можно записать в виде , приняв , получаем общее уравнение плоскости . Уравнение плоскости в отрезках Если же общее уравнение плоскости является полным     (т.е. ни один из коэффициентов не равен нулю), то его можно преобразовать к виду, называемому уравнением плоскости в отрезках ,    равны величинам отрез­­ков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

 

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Пусть плоскость проходит через точки  и , не лежащие на одной прямой и  – произвольная точка плоскости. Тогда векторы ,

  ,  компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

.

 

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты  любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

 

Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости  вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра , опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра

Пусть , а  – углы, образованные единичным вектором  с осями  и ;  Возьмем на плоскости произвольную точку  и соединим ее с началом координат. Образуем вектор . При любом положении точки Μ на плоскости  проекция радиус-вектора  на направление вектора  всегда равно : , т.е.  или  – нормальное уравнение плоскости в векторной форме. Записав его в координатах получим нормальное уравнение плоскости в координатной форме:

 

.

 

Общее уравнение плоскости  можно привести к нормальному уравнению так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части общего уравнения на нормирующий множитель

 

где знак берется противоположным знаку свободного члена  общего уравнения плоскости.