Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика / mech-zad-TulGU

Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Физика

Файл:

(m +dm)dvx'

.pdf

Скачиваний:

540

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

3.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Преобразования Лоренца.	91
дающего тела). Поэтому из формул (5.2) следует
ax' = 0 ;	a'y = −g (1−v02 c2 ), т.е для наблюдателя в

системе K ' , движущейся горизонтально, ускорение свободного падения по-прежнему направлено верти-

кально, но его величина g ' = g (1−v02 c2 ) уменьши-

рис. 5.1

лась.

Во втором случае выбираем направление осей x и x ' вдоль скорости

v0 системы K '

(рис. 5.2). В системе K имеем ax = ay = −g

2 ;

vx = vy = −gt

2 . Из формул (5.2) следует, что

ax'

= −2g

(1−v02 c2 )3 2

a'y = −2g

(1−v02 c2 )

;

(5.3)

(

2 +v0 gt c2 )3

(

2 +v0 gt

c2 )3

Таким образом, для наблюдателя в дви-

жущейся системе

K '

величина ускорения

свободного падения будет зависеть от вре-

мени и от координаты падающего тела (в

формулах

(5.3)

надо

сделать

замену

t = (t '+v0 x '

c2 )

1−v02

c2 ).

Направле-

ние ускорения g '

отклонится от вертикали

рис. 5.2

(рис. 5.2) на угол

ϕ = θ−α = arctg

ax'

− π =

a'y

= arctg

1−

−

. Легко видеть, что при

c → 0

получим

ϕ → 0 . Но

при ультрарелятивистских скоростях v → c будет ϕ → − π .

Задача 5.2

Наблюдатель "0" неподвижен, наблюда-

тель "1" движется относительно него со

рис. 5.3

скоростью

v1 = 3 107 м/с

и т.д. –

каждый

последующий наблюдатель движется относительно предыдущего в одном и том же направлении со скоростью v1 (рис. 5.3). Найти скорость v послед-

него n =10 -го движущегося наблюдателя относительно неподвижного.

92	Глава 5. Специальная теория относительности (СТО)

Решение

Если v2 – скорость наблюдателя "2" относительно наблюдателя "1", то его скорость относительно наблюдателя "0" вычисляется согласно реляти-

вистской теореме сложения скоростей v =	v1 +v2			, которую удобно
			c2
1	+v v	2
	1

использовать, вводя безразмерные параметры thθ = vc , thθi = vi c . Тогда

thθ =	thθ1 + thθ2	= th (θ +θ	2	)	или	θ = θ +θ	2	.

	1					1
	1+ thθ1 thθ2

В релятивистской теории складываются не скорости частиц vi , а безраз-

мерные параметры θi = Arth (vi

c)! Повторяя процедуру сложения и учи-

тывая, что по условию задачи все vi

= v1 , находим

θ = θ +θ

+…+θ

или

Arth

= n Arth

(5.4)

Используя связь Arth x = ln

1+ x

и определение th x =

exp (2x)−1

, по-

1− x

exp (2x)+1

лучим из формулы (5.4) выражение

c +v

n 2

(c +v1 )n −(c

−v1 )n

v = c th n Arth

= c th

= c

)n +(c

−v )n

(c +v

c −v1

А так как по условию v1 = c 10 , то v = c (1110 −910 )

(1110 +910 )=

= 0,763 c = 2, 29 108 м/с .

Релятивистский интервал

Задача 5.3

На расстоянии l =1000 св. лет = 9, 46 1018 м от Земли произошел взрыв

Сверхновой, и были испущены нейтроны. Период полураспада свободного нейтрона T =11,7 мин. С какой скоростью должен лететь нейтрон, чтобы

успеть долететь до Земли с вероятностью, большей 50%.

Решение

Период полураспада T – это время, за которое распадается половина нейтронов в системе отсчета, в которой они покоятся. Чтобы нейтрон с вероятностью 50% не распался, собственное время его полета должно иметь величину ∆τ =T .

Для наблюдателя на Земле проходит время ∆t , которое можно опреде-

Релятивистский интервал

лить из инвариантности релятивистского интервала:

s2 =

c2 (∆τ)2

= c2 (∆t )2 −l2 .

в системе, связанной

с нейтроном

с Землей

Отсюда ∆t = (∆τ)

+(l

1 cτ 2

и v ≥ l

∆t =

≈ c 1

−

(cτ)2 +l2

2 l

Скорость нейтрона должна отличаться от скорости света не более, чем на

(v −c) c 100% = c2T 2 2l2 100% = 2, 48 10−14 % .

Задача 5.4

Двигатели космического корабля развивают постоянную тягу, при которой сила инерции, действующая на экипаж, равна земной силе тяжести. За какое время tk космонавты могут долететь до центра Галактики и вер-

нуться обратно на Землю? Какую максимальную скорость при этом разовьет их корабль, и какое время tЗ пройдет для обитателей Земли? Рас-

стояние от Солнца до центра Галактики l =3 104 св. лет = 2,84 1020 м.

	Решение
	Половину пути до центра Галактики
	корабль движется с постоянным уско-
рис. 5.4	рением ax' = g =9,81 м/с2 ускоряясь, а
рис. 5.4	вторую половину пути – тормозя с тем
же по величине ускорением. ax'	– это ускорение корабля в мгновенной

инерциальной системе отсчета K ' , связанной с кораблем (рис. 5.4). Это система, в которой в данный момент времени корабль неподвижен, и которая движется относительно инерциальной системы K , связанной с

Солнцем, со скоростью v

корабля в данный момент.

Запишем релятивистскую связь скоростей корабля в K и K '

системах:

v' +v

vx =

, и вычислим производную по времени

t , взятому по ча-

+vx' v c2

сам системы K (земному времени). Находим ускорение корабля относи-

dvx

тельно Земли:

dvx

vxv

−(vx'

+v)

dvx

vxv

(при

c2 dt

вычислении производной скорость v инерциальной системы K '

счита-

лась постоянной).

94Глава 5. Специальная теория относительности (СТО)

Вправой части полученной формулы перейдем к производной по времени t ' , отсчитанному по часам корабля. Для этого подставим преобразо-

вание Лоренца dt = dt '	1−v2 c2 и, после вычисления производной, по-
ложим dvx' dt ' = g , vx'	= 0 (в системе K ' , связанной с кораблем, он в ка-

ждый момент покоится: x ' = const ). Получим кинематический закон из-

менения скорости корабля vx = v в K -системе: dv dt = g (1−v2 c2 )3 2 .

Разделяя переменные и вычисляя интеграл от обеих частей уравнения,

v	dv		1	v		gt
∫		=			=		, приходим к зависимости скорости ко-
	(c2 −v2 )3 2		c2	c2 −v2		c3
0

рабля от времени для земного наблюдателя:

v = cgt c2 + g2t2 .

(5.5)

Очевидно, что эта скорость не может превысить скорость света c ! Корабль будет столько же времени ускоряться, сколько и замедляться. Поэтому половину пути в одну сторону он проделает за четверть времени всего путешествия, и

tЗ 4

gctdt

gtЗ

∫ vdt =

∫

+ g

−c

c2 + g2t2

Отсюда находим время полета по земным часам:

tЗ =	16l	+	4l2	=1,89 1012 c = 60000 лет.
	g		c2

Максимальную скорость корабля в средней точке пути получим, подставляя в формулу (5.5) время t = tЗ 4 : vmax = 0,99999994 c .

Время путешествия по часам корабля значительно меньше. Если учесть формулу (5.4), для космонавтов оно будет равно всего

tЗ

1−v2 c2 dt = 4

tЗ 4

tЗ

cdt

tk = ∫dt ' = 4 ∫

∫

1−

dt = 4 ∫

c2 + g2t2

gtЗ

Arsh

≈

=1, 26 10

c = 40,1 лет.

Релятивистский интервал							95
		Задача 5.5
	Релятивистская частица массы m летит в по-
	стоянном поле силы тяжести mg и имеет на-
	чальную скорость v0 , направленную перпен-
	дикулярно силе mg (рис. 5.5). Найти уравне-
рис. 5.5	ние траектории частицы.
рис. 5.5						Решение
Запишем уравнение движения частицы в проекции на оси координат
(рис. 5.5):		dp	x	= 0;	dpy	= mg .	(5.6)
(рис. 5.5):				= 0;	dt	= mg .	(5.6)
		dt			dt

Проинтегрировав уравнения (5.6), получим зависимость релятивистского импульса частицы от времени:

px = p0 ,

py = mgt .

(5.7)

Релятивистский импульс частицы p = mv

1−(v c)2

связан с ее пол-

ной энергией ε = mc2

1−(v c)2

соотношением

p = v ε c2 .

(5.8)

С другой стороны, эту связь можно выразить известной формулой

ε = (px2 + p2y )c2 + m2c4 =

(mgct )2 +ε02 ,

(5.9)

где ε

p2c2

+m2c4

– начальная полная энергия частицы. Используя

соотношения (5.7) и (5.9), можно переписать уравнение (5.8) в виде:

pyc2

p c2

mgc2t

или

(5.10)

(mgct )2 +ε02

Разделяя переменные и делая замену переменной ξ = mgct , можно проинтегрировать уравнения (5.10):

p c2dt

p c ξ

dξ

p c

x = ∫

∫

Arsh

(5.11)

(mgct )

ε0

+ε0

mgc2tdt

ξ2

dξ2

y = ∫

∫

ε0

−ε0

(5.12)

(mgct )2 +ε02

ξ2 +ε02

2mg

96 Глава 5. Специальная теория относительности (СТО)

Выражая переменную ξ = ε0sh (mgx p0c) из формулы (5.11), подставляя

ее в соотношение (5.12) и используя связь sh2η+1 = ch2η, получаем искомое уравнение траектории релятивистской частицы:

y =

ε0 (ch (mgx

p0c)−1),

(5.13)

где

p = mv

1−(v

c)2

; ε

= mc2

1−(v

c)2 . Это – уравнение цеп-

ной линии. Только в случае нерелятивистской частицы, когда v0 c

1 ,

≈ mv

, ε

≈ mc2 и η = mgx (p c)≈ gx v c

1 , можно воспользоваться

η2

η4

разложением в ряд функции ch η =1+

2! +

4! +… и, отбросив малые

высшего порядка, получить из формулы (5.13) известное уравнение пара-

болы	y =	c2	η2	=	gx2	.

		g 2			2v02

Задача 5.6

Релятивистская ракета выбрасывает струю газа со скоростью u , постоянной относительно ракеты. Найти зависимость скорости ракеты v от ее массы m , если в начальный момент движение массы ракеты равна m0 .

		Решение
		Как и в задаче 5.4, перейдем в мгновенную
		инерциальную систему отсчета K ' , которая в
		данный момент времени t движется со скоро-
	рис. 5.6	стью ракеты v . Спустя бесконечно малый ин-
	рис. 5.6	тервал времени ракета потеряет массу dm < 0 и
		тервал времени ракета потеряет массу dm < 0 и

приобретет в системе K ' скорость dv'x (рис.5.6). Устраняем из закона сохранения релятивистского импульса в системе K '

слагаемые второго порядка малости, разделяем переменные и получаем

dvx' = −	dm	u		.	(5.14)
	m	1−u2
			c2

Переходим в систему K , связанную с неподвижным наблюдателем,

Релятивистский интервал			97
скорость ракеты в которой связана со скоростью ракеты в системе K ' ре-
лятивистской теоремой сложения скоростей:
vx =	v'x +v	.	(5.15)
	+vx' v c2
1

После вычисления дифференциала от выражения (5.15) с учетом постоянства скорости v мгновенной инерциальной системы отсчета K ' , под-

ставляем v'x = 0 (в системе K ' в любой момент времени ракета покоится). Находим приращение скорости vx в системе K :

dvx = dv'x (1−v2c2 )= dv .

Подставляя сюда формулу (5.14), разделяя переменные и производя интегрирование, имеем:

m dm

c +v

∫

= −

∫

, откуда

c2 1 −u2

c2 1−u2

0 c2

−v2

c −v

Последнее выражение приводим к виду ln

c +v (m m )2u

c2 −u2

= 0 .

c −v

Поэтому аргумент логарифма равен 1, и нетрудно определить искомую

зависимость	v = c 1	−(m m )α	1	+(m m )α	, где α = 2u c2 −u2 .
		0		0

	Задача 5.7
	Релятивистская частица с массой m и кинетиче-
	ской энергией K налетает на покоящуюся частицу
рис. 5.7	той же массы. Найти массу M и скорость u состав-
ной частицы, образовавшейся в результате соударения (рис. 5.7).
	Решение
Используем закон сохранения полной энергии системы
ε' = ε или Mc2 1−(u c)2 = ε' = (mc2 + K )+ mc2 ,		(5.16)

и ее релятивистского импульса p ' = p . Последний закон, используя связь полной энергии и импульса релятивистской частицы, можно записать в виде

p '2 = (ε' c)2 −M 2c2 = p2 = (mc + K c)2 −m2c2.

(5.17)

Подставляя в формулу (5.17) связь ε' = 2mc2 + K , следующую из формулы (5.16), получим уравнение для определения M , из которого следует:

M 2c2 = (2mc + Kc)2 −(mc + Kc)2 +m2c2 и M = 2m(2m + Kc2 ).

98 Глава 5. Специальная теория относительности (СТО)

Масса в реакциях слияния частиц не сохраняется (M > 2m) и должна

возрасти!

Подставив найденное выражение для M в формулу (5.16), нетрудно определить скорость u образовавшейся частицы:

	u2		Mc2			2mc2		K
1−		=			=		, откуда u = c			.
1−	c2	=	2mc2		=		, откуда u = c	2mc2		.
	c2		2mc2	+ K		2mc2 + K		2mc2	+ K
						Задача 5.8
						Релятивистская частица с массой m0 налета-
						ет на покоящуюся частицу с массой m . Про-
						исходит реакция, в которой рождаются части-
		рис. 5.8				цы с суммарной массой M > m0 +m (рис. 5.8).

Найти энергетический порог реакции, т.е. минимальное значение кинетической энергии K0 налетающей частицы, начиная с которого реакция ста-

новится энергетически возможной.

Решение

Используем релятивистский инвариант

						(ε c)2 − p2 = (ε' c)2 − p '2		(5.18)
где	ε = ε			0	+mc2	– полная энергия системы до соударения,		p = p =
				0				0
=	(ε	0	c)2		−m2c2	– величина ее импульса до соударения, ε	0	– полная
		0			0		0

энергия налетающей частицы. ε' и p ' – полная энергия и импульс систе-

мы после соударения. Так как инвариант (5.18) одинаков во всех инерциальных системах отсчета, то запишем правую часть уравнения (5.18) в Ц- системе, где покоится центр масс образовавшихся частиц, т.е. p ' = 0 .

Минимальной правая часть уравнения (5.18), а вместе с тем и величина ε0 в левой части будет в том случае, когда все образовавшиеся частицы

покоятся в Ц-системе и ε' = ∑ε'i

= ∑mic2 = Mc2 = min . В этом случае из

уравнения (5.18) следует, что

+mc

2 2

−m

ε0

−

ε0

−m2c2

= M 2c2 , откуда ε

−m0

c2 = min .

Пороговая кинетическая энергия

K0 = ε02min −m0c2 = (M 2 −(m0 +m)2 )c2 (2m).

Глава 6

Задачи для индивидуальной работы.

1. Кинематика

1-1. Две частицы движутся с постоянными скоростями v1 и v2 . Их ра- диусы-векторы в начальный момент равны r01 и r02 . При каком соотно-

шении между этими четырьмя векторами частицы обязательно испытают столкновение? Когда это произойдет?

Ответ:

−

∆r0

∆v

;

t =

∆r0

∆r

∆v

1-2. Фонарь, находящийся на расстоянии 3 м от вертикальной стены, бросает на нее "зайчик". При равномерном вращении фонаря с частотой 0,5 Гц "зайчик" бежит по стене по горизонтальной прямой с переменной скоростью. Найти скорость "зайчика" через 0,1 с после того, как луч света был перпендикулярен к стене. Ответ: v =10, 4 м/с

1-3. Частица движется со скоростью v = at (2i +3 j + 4k ), где a =1 м/с2 .

Найти: а) модуль скорости частицы в момент t = 1 c; б) ускорение частицы и его модуль; в) путь, пройденный частицей за промежуток времени от

t = 2 c до	t	2	= 3 c .	Ответ: 5,4 м/с;	5,4 м/c2;	13,5 м
1		2
1-4. Две автомашины тянут третью с помощью
привязанного к ней блока (pис.6.1). Ускорения
автомашин a1 и a2. С каким ускорением движется					pис.6.1
буксируемая автомашина?					pис.6.1
Ответ: 0,5(a1 + a2)						v1 = 3 м/с	и
1-5. Две частицы движутся с постоянными скоростями						v1 = 3 м/с	и
v2 = 4 м/с	по двум взаимно			перпендикулярным	прямым	к точке	их

пересечения. В начальный момент они находились от нее на расстояниях l1 = 20 м и l2 =16 м соответственно. Через сколько времени после этого

расстояние между частицами будет наименьшим? Чему оно равно?

Ответ: 4,96 c; 6,4 м

1-6. Радиус-вектор частицы меняется со временем по закону r = bt (1−αt ), где b – постоянный вектор, а α – положительная констан-

та. Найти: а) скорость и ускорение частицы в зависимости от времени, б) промежуток времени ∆t, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь l, который она пройдет за это время.

Ответ: ∆t=1/α; l=b/2α

100 Глава 6. Задачи для индивидуальной работы

1-7. Лодка, имеющая скорость v0 , убирает парус в момент t0 , но про-

должает двигаться так, что ее скорость убывает по гиперболическому закону ( v ~ 1/ t ). Найти ускорение лодки и зависимость пути от времени

при спущенном парусе.

Ответ: −

v t

;

v0t0

1-8. Стержень длиной l упирается верхним

концом в стену, а нижним в пол. Конец,

упирающийся в стену, равномерно опускается

вниз. Будет ли равномерным движение ниж-

него конца (рис. 6.2)?

Ответ: Нет, так как vx = y

l2 − y2

рис. 6.2

1-9. Начертить графики зависимостей от

времени пути и ускорения некоторого тела,

зависимость

v (t )

для которого представлена

на рис. 6.3. Интервал по времени: от 0 до 16 с.

Ответ: Нарисованные Вами графики.

1-10. Наблюдатель, стоявший в момент на-

чала движения электропоезда у его переднего

края, заметил, что первый вагон прошел мимо

рис. 6.3

него за 4 с. Сколько времени будет двигаться

мимо него 7-й вагон? Движение электропоезда равноускоренное.

Ответ: 0,8 c.

1-11. Две прямые линейки лежат так, как

показано на рис.6.4, образуя угол α. Если ли-

нейку B двигать поступательно со скоростью

v , вектор которой образует угол β с линейкой

A, то точка пересечения линеек (точка C) пе-

ремещается. Определить скорость точки C как

рис.6.4

функцию v

и углов α и β. При каком угле β1

скорость vC

наиболее велика? При каком угле β2 скорости vC и v равны?

Ответ: v

= v

sin (α+β)

; β =

π −α; β

= 0 .

sin α

1-12. Поезд длиной l = 350 м начинает двигаться по прямому пути с постоянным ускорением a = 0,03 м/с2. Через t = 20 c после начала движения был включен прожектор локомотива (событие 1), а через τ = 60 с после этого – сигнальная лампа в хвосте поезда (событие 2). Найти расстояния между этими событиями в системах отсчета, связанных с

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика

#
02.05.20143.9 Mб86mech-lec-TulGU.pdf
#
02.05.20143.32 Mб540mech-zad-TulGU.pdf