1. Предел функции в точке.

Пример.

Используя определение, доказать, что функция в точке имеет предел, равный , т.е.

Решение. В данном примере , Возьмем любое . Тогда для любого числа .

2. Теоремы о пределах.

3. Непрерывность функции.

4. Производная. Геометрический и физический смысл.

5. Вычисление производных.

Если в функции u = u(x) и v = v(x) имеют производные в точке x₀, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(x) ≠ 0) также имеют производные в точке x₀ и справедливы следующие формулы:

6. Производная сложной функции

Если функция x=(t) имеет производную в точке f₀, а функция y=f(x) имеет производную в точке x₀ = (t₀),то сложная функция f[(t)] имеет производную в точке t₀ и имеет место следующая формула:

y(t₀) = f(x₀) (t₀).

Формула дифференцирования вместе с правилами дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и правилом дифференцирования сложной функции составляют основу дифференциального исчисления.

Вычисление производной сложн6ой функции.

В предыдущей теореме рассматривалась сложная функция, где y зависела от t через промежуточную переменную x. Возможна и более сложная зависимость – с двумя, тремя и большими числом промежуточных переменных, но правило дифференцирования остается прежним.

Так, например, если y = f(x), где x = (u), а u = (v) и v = (t), то производную y(t) следует искать по формуле

y(t) = y(x) x(u) u(v) v(t)

Рассмотрим примеры дифференцирования сложной функции:

1.Вычислить производную y = e^arctgx.

Решение. Данную функцию можно представить в виде y = e^u, где u = arctgx. Тогда, по формуле y(t) = y(x) x(u) u(v) v(t)

y(x) = y(u) u(x) = e^u

Заменив u на arctgx, окончательно получим

y(x) = e^arctgx

2.Вычислить производную функции y = tg² (x² + 1)

Решение. Данную функцию можно представить в виде y = u², где u= tgv, а u = x² + 1. Используя формулу y(t) = y(x) x(u) u(v) v(t). Получим

y(x) = y(u) u(v) v(x) = (u²) (tgv) (x² + 1) = 2u sec²v  2x = 2tg (x² + 1) sec² (x² + 1) 2x = 4x tg (x² + 1) sec² (x² + 1).

Вычисление производной в последнем примере можно записать в таком виде:

y(x) = 2tg (x² + 1) (x² + 1) = 2tg (x² + 1)  sec² (x² + 1) 2x = 4x tg (x² + 1) sec² (x² + 1).

7. Производная обратных тригонометрических функций.

8. Производные высших порядков.

Производная функции сама является некоторой функцией аргумента x. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

Назовём производной первого порядка.

Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной). Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т.д. Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются так:

или

Производная n-го порядка есть производная от производной –го порядка, т.е.

Производные высших порядков имеют широкое применение в физике. Здесь мы ограничимся физическим толкованием второй производной . Если функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то как известно, первая производная есть мгновенная скорость точки в момент времени x, а вторая производная в таком случае равна скорости изменения скорости, т.е. ускоренью движущейся точки в момент времени x.

Пример. Найти производные второго порядка от следующих функций: 1) ; 2) ; 3)

Решение. 1) Прежде всего находим первую производную:

затем, считая первую производную функцией от x, берём производную от этой функции, получаем

3)

9. Возрастание и убывание функций. Будем говорить, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на множестве X, если для любых x₁ и x_2, принадлежащих X, удовлетворяющих условию x₁ x_{2 ,} справедливо неравенство

Неубывающие и невозрастающие функции объединяют общим названием монотонные функции.

Если для любых x₁ и x₂, принадлежащих X, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство , то, как мы уже знаем, функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на множестве X. Возрастающие и убывающие функции называются также строго монотонными.

Следующая теорема устанавливает важный для решения практических задач признак возрастания и убывания функции и указывает правило для определения промежутков, на которых функция возрастает и убывает.

Теорема. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке на интервале (a, b) и на (a, b), то функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a, b).

Замечание. Теорема остается справедливой, если на (a, b), то f(x) возрастает (убывает) на (a, b).

Правило. Для определения промежутков возрастания и убывания следует решить неравенства .

При решении задач, в которых требуется определить промежутки возрастания и убывания функции, следует прежде всего определить область существования этой функции.

Пример: Определить промежутки, на которых функция возрастает и убывает.

Решение. Область определения функции – вся числовая прямая. Находим производную функции . Из неравенства или , или , т.е. (либо , либо ), следует, что данная функция возрастает на интервалах и , а из неравенства или , или , т.е. , следует, что данная функция убывает на интервале (- 2; 2).

10. Отыскание точек локального экстремума функции.

Определение. Точка x₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x), если для всех x из некоторой – окрестности точки x₀ выполняется неравенство f (x) < f (x₀) (f (x) > f (x₀)).

Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что в случае экстремума неравенство f (x) < f (x₀) (f (x) > f (x₀)) не обязано выполняться для всех значений x в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки x₀.

Теорема (необходимое условие локального экстремума). Если функция f (x) имеет в точке x₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f’(x₀) = 0.

Представленная теорема имеет следующий смысл. Если x₁, x₂ и x₃ – точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные параллельны оси Ох.

Такие точки называют точками возможного экстремума. Если точка x₀ – точка возможного экстремума, т.е. f’(x₀) = 0, то она может и не быть точкой локального максимума (минимума).

Теорема (достаточное условие локального экстремума). Пусть функция f(х) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀. Тогда, если f’(x₀) > 0 (f (x) < 0) для всех х из (х₀ – , x₀), а f’(x) < 0 (f’(x) > 0 для всех x из (x₀, x₀ + ), то в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум), если же f'(x) во всей – окрестности точки x₀ имеет один и тот же знак, то в точке x₀ локального экстремума нет.

Пример. Найти максимумы и минимумы следующих функций:

1. f(x) ; 2) f(x) = (x–2)⁵.

Решение. 1) Область определения данной функции – вся числовая прямая, так как x²–x+3 > 0 при любом x. Находим производную f’(x) = . Решая уравнение , получаем точку возможного экстремума x = 1/2. Исследовав знак f’(x) в окрестности x = 1/2, получаем, что в этой точке данная функция имеет локальный минимум, а f(1/2) = -1/11 – минимальное значение функции.

2. Область определения данной функции – вся числовая прямая. Находим производную: f’(x) = 5(x-2)⁴. Производная обращается в нуль в единственной точке x = 2. Так как f’(x) положительная как слева, так и справа, то данная точка не имеет точек экстремума.

11. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.

12. СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Изучение заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в следующим порядке:

1. Найти область определения функции;

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат;

3. Найти точки возможных экстремумов;

4. Найти критические точки;

5. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремума и точки перегиба;

6. Построить график.