Інструкційна картка до проведення лабораторного заняття № 21
Тема заняття: Розв’язування СЛАР за методом Крамера при проведенні інженерних розрахунків. Розв’язування нелінійних рівнянь при розрахунках процесів та обладнання.
Мета проведення заняття: вміти розв’язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь, користуючись методами Крамера; знайомство з методами розв’язування нелінійних рівнянь; формування вмінь і навичок роботи з системою MathCAD.
Після виконання роботи студент повинен
знати:
основи роботи з пакетом MathCad
вміти:
розв’язувати СЛАР та нелінійних рівнянь з використанням засобів MathCAD
Матеріально-технічне оснащення робочого місця: ПК, MathCAD
Інструктаж з техніки безпеки: згідно з інструкцією з охорони праці № 1 під час роботи на персональних комп'ютерах у кабінеті інформатики
Короткі відомості з теоретичної частини роботи
Центральним питанням обчислювальної лінійної алгебри є рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАУ). До систем лінійних рівнянь зводиться безліч, якщо не сказати більшість, задач обчислювальної математики.
СЛАУ має єдиний розв’язок, якщо матриця А є невиродженною, тобто її визначник не дорівнює нулеві. З обчислювальної точки зору, розв’язок СЛАУ не представляє труднощів, якщо матриця А не дуже велика. У MathCAD СЛАУ можно розв’язати як у більш наочній формі, так і в більш зручній для запису формі.
Для першого способу варто використовувати обчислювальний блок Given/Find, а для другого - вбудовану функцію lsolve.
lsolve (А,B) - розв’язання системи лінійних рівнянь;
А - матриця коефіцієнтів системи;
B - вектор правих частин.
При цьому матриця Аможет бути визначена кожним зі способів. Вбудовану функцію Isoive допускається застосовувати і при символьному розв’язку СЛАУ.
Розв’язання СЛАУ
Символьний розв’язок СЛАУ
Матричний спосіб розв’язування
Матричний спосіб розв’язування СЛАР досить простий. Обидві частини матричної рівності помножимо ліворуч на зворотну матрицю А-1. Одержимо
A-1´A´X=A-1´B.
Так як A-1´A=E, де E – одинична матриця (діагональна матриця, у якої по головній діагоналі розташовані одиниці). Тоді розв’язок системи запишеться в наступному виді Х=А-1×В
Метод Крамера
Знаходимо детермінант матриці А: det(А)
Знаходимо X=det(X)/Det(А)
ЗнаходимоY=det(Y)/Det(А)
Знаходимо Z=det(Z)/Det(А)
x, y, z –є розвязком СЛАР.
Методи розв’язку нелінійних рівнянь при розрахунках процесів та обладнання
Нелінійним рівнянням називають алгебричне рівняння виду , (1)
де - аргумент, а функція (2) є деякою довільною неперервною алгебраїчною функцією цього аргументу.
Під розв'язком нелінійного рівняння (коренем, нулем відповідної нелінійної функції ) розуміють таке значення аргументу , підставляння якого в рівняння (1) перетворює його у тотожність.
Загальних способів відшукання дійсних коренів довільних нелінійних рівнянь не існує. Нелінійна функція може не мати взагалі дійсних коренів, може мати один, два і навіть нескінченну кількість їх.
Визначити корені даного рівняння f(х)= 0 одним з методів: графічним, аналітичним або метолом послідовного перебору.
Графічний метод. Запустити MATHCAD.
В середовищі MATHCAD ввести вираз, котрий відповідає заданому рівнянню.
Побудувати графік функції f(х). Відрізок ізоляції вибирають виходячи з характеру графіка та заданої точності.
Уточнення коренів з використанням математичних програм:
В середовищі MATHCAD ввести вираз.
Замовити потрібну точність E.
За допомогою функціі root(f(x),x) уточнити корінь.
Виконати наближені обчислення:
Записати результати.
Приклад: