Семинар. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.

Определение: Если каждому натуральному поставлена в соответствие функция , определенная на множестве Х, то говорят, что задана функциональная последовательность

Определение: Если числовая последовательность сходится (расходится), то говорят, что исходная функциональная последовательность сходится (расходится) в точке .

Определение: Говорят, что функциональная последовательность сходится на множестве к функции , если она сходится в каждой точке :

.

• Найти предельную функцию . (Отв. 0, если )

• Найти предельную функцию (Ответ: x)

• Найти предельную функцию (Ответ: 0)

Если задана точка , то в этой точке исследование сходимости функциональной последовательности сводится к исследованию сходимости числовой последовательности. Однако существует понятие сходимости, учитывающее поведение функций на некотором множестве точек .

Определение: Говорят, что функциональная последовательность сходится равномерно на множестве Х, если: (один и тот же для всех ) такой, что и .

Обозначим такую сходимость на Х.

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности):

Для того чтобы функциональная последовательность сходилась равномерно на множестве Х к некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы – натурального, выполнялось следующее условие: сразу для .

Графическая иллюстрация равномерной сходимости.

Неравенство означает, что при график любой функции будет лежать в -окрестности графика функции и .

Сформулируем «практический» критерий равномерной сходимости функциональной последовательности, вытекающий из определения равномерной сходимости функциональной последовательности.

Функциональная последовательность сходится равномерно на множестве Х, если при , т.е. .

При исследовании функциональной последовательности на равномерную сходимость

• находим ;

• находим ;

• определяем, равен или не равен нулю .

Если , то последовательность сходится равномерно, в противном случае она сходится неравномерно.

• Пример: , Д2746 (б) − сходится в каждой точке, но не равномерно.

• Исследовать на равномерную сх-ть: 1). , а) ;(неравномерно) б) (равномерно).

Для отыскания точной верхней грани удобно найти точку максимума из условия равенства нулю производной:

• (равномерно)

• (неравномерно)

• При каких последовательность сходится равномерно на R? (Отв. <1)

Функциональные ряды.

Членами функциональных рядов являются функции , определенные на множестве Х.

Определение: Если числовой ряд сходится (расходится), то говорят, что функциональный ряд сходится (расходится) в точке .

Определение: Если функциональный ряд сходится в каждой точке , то говорят, что указанный ряд сходится на множестве .

Найдите область сходимости функционального ряда.

• (Д2716)

• (Д2721) (Ответ: )

• (Д2723) (Ответ: сходится абсолютно при , сходится условно при .)

Определение: Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно к функции на множестве Х, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно к функции при на множестве Х, то есть такой, что выполняется условие сразу для .

• Исследуйте на равномерную сходимость функциональный ряд , .

Теорема 2 (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда):

Для того, чтобы функциональный ряд равномерно сходился к своей сумме необходимо и достаточно, чтобы – натурального, выполнялось сразу для .

• Исследуйте на равномерную сходимость функциональный ряд , .