Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов

Определение 1: Числовой ряд называется мажорантным (или мажорирующим) для функционального ряда на множестве X, если .

Теорема 2 (Признак Вейерштрасса):

Если для функционального ряда на множестве Х существует мажорантный сходящийся ряд , то исходный функциональный ряд сходится равномерно на множестве Х.

Исследовать ряд на равномерную сходимость (признак Вейерштрасса):

• (Ответ: равномерно)

• ( в качестве мажоранты взять )

Определение 2: Функциональная последовательность называется равномерно ограниченной на множестве Х, если существует константа M такая, что .

Теорема 3 (признак Дирихле-Абеля) Рассмотрим ряд

1. Пусть функциональная последовательность не возрастает при каждом и сходится к нулю равномерно на множестве (т.е. , а также монотонно стремится к нулю при на множестве ).

2. Последовательность равномерно ограничена на множестве . Тогда ряд сходится равномерно на множестве .

Исследовать на равномерную сходимость:

• а) ; б) (Д2775)

• (Д2777)Указание: оценить остаток ряда.

Сходимость в среднем.

Определение. Говорят, что последовательность сходится в среднем к функции на сегменте , если .

Докажите, что функциональная последовательность сходится в среднем на множестве .

Докажите, что функциональная последовательность не сходится в среднем на множестве .

На дом: Д2746, 2747, 2748, 2752,2755,2756(а)(посл-ти); Д2767, 2768, 2769;

Д2774(б,в,г,к,л)(Вейерштрасс), Д2778, 2780(Д.-А.).

Докажите, что функциональная последовательность сходится в среднем на множестве .

Докажите, что функциональная последовательность не сходится в среднем на множестве .

Выучить пять основных разложений ( формула Маклорена)!!

Тема следующего семинара: «Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость». Подготовиться к семинару можно, прочтя Ильин-Позняк часть II гл.I §1 п. 6 §2п.1,2.

На следующем семинаре в качестве контроля – контрольная по домашнему заданию - 3 варианта – задачи Д2637 (сравнение), Д2580 (Даламбер), Д2683 (Лейбниц).

Семинар. Дифференцирование и интегрирование функциональных последовательностей и рядов. Степенные ряды вещественной переменной.

Предельный переход и непрерывность.

Теорема 1. Пусть функциональная последовательность равномерно сходится к на промежутке и при каждом существует конечный предел . Тогда последовательность сходится и

Теорема 2 Пусть функциональная последовательность непрерывна на промежутке равномерно сходится к на этом промежутке. Тогда непрерывна на промежутке .

• Для функциональной последовательности , установить сходимость, исследовать её на равномерную сходимость и выяснить, справедливо или нет равенство при а) , б) , в) .

• Для функциональной последовательности , установить сходимость, исследовать её на равномерную сходимость и выяснить, справедливо или нет равенство при а) , б) . Этот пример показывает, что признак возможности предельного перехода достаточный, но не необходимый.

Теорема 3 Если функциональный ряд сходится равномерно на промежутке и существуют конечные пределы , где , то ряд сходится, и верно равенство .

• Найти (Д 2806)

Решение: формально переходя к пределу под знаком суммы, получаем (напомнить формулу )

Для правомерности такого предельного перехода достаточно равномерной сходимости ряда. Воспользуемся признаком Дирихле- Абеля. Последовательность частичных сумм ряда ограничена (например, числом 2). Рассмотрим последовательность . . Докажем, что последовательность монотонно убывает: . Итак, условия признака Дирихле-Абеля равномерной сходимости ряда выполнены, по теореме о предельном переходе в рядах .

• Найти (Д 2807). (Вопрос о равномерной сходимости должен был быть изучен дома).

Решение: Вычислим n-ю частичную сумму ряда : . Предельная функция этой последовательности . Вычислим . Он, очевидно, равен 1. Заметим, что согласно практическому критерию равномерной сходимости, , поэтому, сходимость ряда на интервале будет, вообще говоря, неравномерной. Как легко проверить, теорема о предельном переходе здесь не выполняется.

Теорема 4: Если все функции непрерывны на промежутке и ряд сходится на этом промежутке, то сумма ряда является непрерывной функцией на множестве .

• Определить область существования функции

и исследовать её на непрерывность.( ВОС №930)

Формулировка достаточного признака для возможности почленного интегрирования последовательности.

Теорема 5: Если последовательность непрерывных функций сходится равномерно сегменте к функции , то последовательность интегралов сходится равномерно на промежутке сегменте к интегралу .

При каких значениях параметра последовательность а) сходится на сегменте [0,1], б) сходится равномерно на [0,1], в) возможен предельный переход под знаком интеграла ?( Д2802)

Формулировка достаточного признака для возможности почленного интегрирования ряда.

Теорема 6: Если все функции непрерывны на сегменте и , то

, то есть при указанных условиях функциональный ряд можно интегрировать почленно.

• Разложив предварительно производные, путем почленного интегрирования получить разложения в степенной ряд следующих функций: . Найдите сумму ряда (Д 2869).

Теорема 7: Пусть функции имеют непрерывные производные на сегменте Пусть хотя бы в одной точке сегмента , а последовательность производных сходится равномерно на .Тогда последовательность сходится равномерно на сегменте к функции , дифференцируемой на сегменте и предельная функция имеет производную . Другими словами, последовательность можно дифференцировать почленно.

• Для функциональной последовательности , (вопрос о равномерной сходимости см. семинар ряды 2 ) а) выяснить вопрос о равномерной сходимости последовательности из производных, б) справедливо или нет равенство ?

• Показать, что последовательность сходится равномерно на интервале , но (Д2800).

Теорема 8 Если все функции имеют производную на сегменте и если ряд из производных сходится равномерно на сегменте к функции , а сам ряд сходится хотя бы в одной точке сегмента , то ряд сходится равномерно на к функции , . То есть ряд при этих условиях можно дифференцировать почленно.

Показать, что функция непрерывна и имеет непрерывную производную на интервале (Д2792).