1.6. Основные понятия трехзначной логики
Трёхзначная логика была исторически первой многозначной логикой, и является простейшим расширением двузначной логики. Перечень истинностных значений трёхзначной логики помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое трактуется как «неопределено», «неизвестно» или «ошибочно». В последнем случае логику обычно называют частичной.
Важным свойством трёхзначных логик, отражающим их адекватность, является то, что все они представляют собой расширения классической двузначной логики.
В трехзначной логике имеют место следующие соотношения:
x = x
x & x = x
x & 0 = 0
x & 2 = x
x 1 = x
x 0 = 0
x 0 = x
Функции квази-дизъюнкции, квази-конъюнкции и отрицания связаны между собой формулами де Моргана.
x |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
2 |
1 |
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
0 |
1 |
2 |
2 |
1 |
0 |
0 |
2 |
1.7. Представление k-значных функций в виде нормальных форм
Теорема 2. Любая функция k - значной логики может быть представлена в виде СДНФ:
f(x1,..., xn ) = v 1( x1 ) & 2( x2 ) &... n( xn) & f ( 1, 2,..., n )
или в виде - формы:
f( x1,..., xn) = 1 ( x1 ) & 2 ( x2 )... & n ( xn ) f ( 1,...,n).
Пример. Для функции, заданной таблицей истинности
-
x1
x2
f
0
0
0
0
1
1
0
2
2
1
0
0
1
1
0
1
2
0
2
0дд 0
0
2
1
1
2
2
0
составить СДНФ и - форму.
Решение. Заметим, что значения xi в таблице соответствуют индексам i при функциях i и i. И в соответствии с выше обозначенными формулами можно записать:
f( x1, x 2 ) = 0( x1 ) & 1( x2 ) & 1 v 0( x1 ) & 2( x2 ) & 2
v 2( x1 ) & 1( x2 ) & 1.
f( x1, x 2 ) = 0( x1 ) & 1( x2 ) 1 0( x1 ) & 2( x2 ) 2
2( x1 ) & 1( x2 ) 1.