7.2. Частные случаи приведения пространственной системы сил

Если при приведении системы сил к динамическому винту главный момент динамы оказался равным нулю, а главный вектор отличен от нуля, то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, причем центральная ось является линией действия этой равнодействующей.

Выясним, при каких условиях, относящихся к главному вектору и главному моменту , это может быть. Поскольку главный момент динамы равен составляющей главного момента , направленной по главному вектору, то рассматриваемый случай означает, что главный момент перпендикулярен главному вектору, т.е. . Отсюда непосредственно вытекает, что если главный вектор не равен нулю, а второй инвариант равен нулю,

, (7.9)

то рассматриваемая система приводится к равнодействующей.

В частности, если для какого-либо центра приведения , а , то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, проходящей через данный центр приведения; при этом условие (7.9) также будет выполнено.

Обобщим теорему о моменте равнодействующей (теорему Вариньона) на случай пространственной системы сил.

Если пространственная система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов всех сил относительно той же точки.

Пусть система сил имеет равнодействующую и точка О лежит на линии действия этой равнодействующей. Если приводить заданную систему сил к этой точке, то получим, что главный момент равен нулю.

Возьмем какой-либо другой центр приведения О₁; тогда

. (7.10)

С другой стороны, на основании формулы (4.14) имеем

, (7.11)

т.к. . Сравнивая выражения (7.10) и (7.11) и учитывая, что в данном случае , получаем

. (7.12)

Таким образом, теорема доказана.

Пусть при каком-либо выборе центра приведения , . Так как главный вектор не зависит от центра приведения, то он равен нулю и при любом другом выборе центра приведения. Поэтому главный момент тоже не меняется при перемене центра приведения, и, следовательно, в этом случае система сил приводится к паре сил с моментом, равным .

Составим теперь таблицу всех возможных случаев приведения пространственной системы сил:

				Случай приведения
				Динамический винт
				Равнодействующая
				Пара сил
				Система сил эквивалентна нулю

Если все силы находятся в одной плоскости, например, в плоскости Оху, то их проекции на ось z и моменты относительно осей х и у будут равны нулю. Следовательно,

, , .

Внося эти значения в формулу (7.5), найдем, что второй инвариант плоской системы сил равен нулю.

Тот же результат мы получим и для пространственной системы параллельных сил. Действительно, пусть все силы параллельны оси z. Тогда проекции их на оси х и у и моменты относительно оси z будут равны нулю. Отсюда

, , .

Пользуясь снова формулой (7.5), найдем .

На основании доказанного можно утверждать, что плоская система сил и система параллельных сил в пространстве не приводятся к динамическому винту.

Задача 7.1. Систему двух сил Р1=8 кГ и Р2=12 кГ, направленных параллельно осям х и у, как указано на рис. 7.4 а (расстояние между точками приложения сил равно 1,3 м), требуется

Рис. 7.4.

привести к динаме, определив главный вектор и главный момент динамы. Найти углы , составляемые центральной осью системы с координатными осями, а также уравнение центральной оси.

Возьмем за центр приведения начало координат О. Проекции главного вектора на оси координат будут

 кГ,  кГ, .

Модуль главного вектора

 кГ.

Направляющие косинусы главного вектора равны

, , .

Найдем проекции главного момента, на оси координат:

,  кГм, .

На рис. 7.4 б показано расположение главного вектора и главного момента для центра приведения О.

Проекцию главного момента на направление главного вектора определим по формуле

 кГм.

Уравнение центральной оси (7.8) имеет вид

.

Отсюда следует, что центральная ось является линией пересечения плоскостей , .

На рис. 7.4 в показано расположение этой оси (ОО₁=0,9 м).

Задача 7.2. По ребрам куба со стороной а действуют двенадцать равных по модулю сил, как показано на рис. 7.5 а. Привести систему к простейшему виду.

Рис. 7.5.

За центр приведения возьмем начало координат О и вычислим проекции главного вектора и главного момента на координатные оси. Имеем

, , ,

, , ,

где  – общее значение модуля заданных сил.

По формулам (7.4) и (7.5) найдем значения статических инвариантов

, .

Так как второй инвариант положителен, то система сил приводится к правому динамическому винту (главный вектор и момент М* направлены в одну сторону). Модуль момента М* найдем по формуле (7.6):

.

Напишем уравнение центральной оси (7.8):

.

Отсюда видно, что центральная ось системы представляет линию пересечения плоскостей

Подставляя в эти уравнения сначала , а затем , найдем точки пересечения центральной оси с нижней и боковой гранями куба (рис. 7.5 б)

, , ,

, , .

Таким образом, динамический винт, эквивалентный данной системе сил, состоит из силы , модуль которой равен , и пары сил с моментом М*, коллинеарным силе и численно равным М*=4/3Ра. Центральная ось и составляющие динамического винта показаны на рис. 7.5 б.