14.Квазиобращение эволюционных операторов с обобщенными спектральными характеристиками.

Опр. Пусть A – оператор Вольтера-Виннера:

, , B – полиномиальный оператор Вольтера-Виннера степени r: ,

И пусть C-оператор Вольтера-Виннера, являющейся композицией операторов B и A, т.е. С= B○A, а F- оператор Вольтера-Виннера, являющейся композицией операторов A и B, т.е. F= A○B.

Оператор B называется левым квазиобратным степени r к оператору A, если , т.е. и при

Оператор B называется правым квазиобратным степени r к оператору A, если , т.е. и при

Оператор B называется квазиобратным степени r к оператору A, если он одновременно является левым и правым квазиобратным степени r к оператору A.

Пусть , , , -системы спектральных характеристик операторов A,B,C,F соответственно.

Тогда для любого натурального числа n имеем: (1)

(2)

Оператор B является левым квазиобратным степени r к оператору A, если выполняются условия: и для любого n=2;3;…;r выполнено неравенство: (4)

Оператор B является правым квазиобратным степени r к оператору A, если выполняются условия: и для любого n=2;3;…;r выполнено неравенство:

Отметим, что условия (3) и (5) равносильны. Они означают, что функция принадлежит алгебре и при этом . Если , то мы будем говорить, что спектральная характеристика обратима в алгебре .

Рассм. равенство (4). Отметим что если m=n то , откуда следует что . Следовательно выделяя в первой сумме соотношения (4) слагаемые при m=n и перенося всё остальное в правую часть равенства, получим: , т.е.

. В части при n=2 имеем: m=1, и (8)

Для случая n=2 из соотношения (8) получаем: