11. Композиция эволюционных операторов
Пусть
А и В – эволюционные операторы кратностей
и
соответственно:
,
,
,
.
Рассмотрим композицию операторов B○A:
,
.
Теорема (о композиции эволюционных операторов).
Композиция
С= B○A
эволюционных операторов В и А кратностей
соответственно, где
, ,
,
.
является эволюционным оператором
,
,
импульсные характеристики вычисляются по формуле
Следствие
1 (когда
).
Композиция
С= B○A
эволюционных операторов В и А кратностей
соответственно, где
,
,
, .
является эволюционным оператором
,
,
импульсные характеристики которого вычисляются по формуле
(
),
Где
,
j-ая
компонента импульсной характеристики
Следствие
2 (когда
)
Композиция
С= B○A
эволюционных операторов В и А кратностей
соответственно, где
, ,
,
.
является эволюционным оператором
, ,
импульсные характеристики вычисляются по формуле
Следствие
3 (когда и
,
получаем следствие о композиции
эволюционного оператора порядка
и оператора Вольтера-Винера ).
Композиция
С= B○A
эволюционных оператора В порядка
,
и оператора Вольтера-Винера А
,
,
является эволюционным оператором
, ,
импульсные характеристики которого вычисляются по формуле
(
),
где
.
(1)
12.Композиция эволюционных операторов Вольтерра-Винера.
Пусть А и В – эволюционные операторы кратностей и соответственно:
, ,
, . Рассмотрим композицию операторов B○A:
, .Причём y=Ax.
Теорема(о композиции эволюционных операторов).
Композиция
С=B○A
эволюционных операторов В и А кратностей
соответственно,
где
, ,
, .
является эволюционным оператором
, ,
импульсные характеристики вычисляются по формуле
Теорема (о композиции эволюционных операторов Вольтера-Виннера) Композиция С=B○Aоператоров Вольтера-Винера В и А:
, ,
,
является оператором Вольтера-Винера
, ,
импульсные характеристики которого вычисляются по формуле :
( ), где .
13.Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными спектральными характеристиками: основные пространства, обобщенное преобразование Лапласа.
Пусть
принадлежит пространству
.
Через
обозначается совокупность всех бесконечно
дифференцируемых функций φ
на пространстве Rn,
удовлетворяющих условию:
,
где |t| = t1 + t2 + … + tn.
Рассмотрим
тензорное
произведение функций
и
где
Объединим
пространства
(Rn)
с условием, что a
< c
(R),
т.е.
Обозначим полученную совокупность
через
.
Определение.
Обобщенной функцией экспоненциального
роста на Rn
степени с
(c
из Rn)
называется любой нелинейный непрерывный
функционал на пространстве
Определение.
Преобразованием Лапласа обобщенной
функции называется функция
,
определяемая на множестве
равенством
(1)
где
.
Так
как функция
принадлежит пространству
для любого
, то из (1) следует, что
Примеры преобразований Лапласа от некоторых функций.
Пример 1. Пусть f = θ – функция Хевисайда. Тогда имеем:
Пример
2. Пусть f
= δ – дельта-функция. Тогда имеем:
Рассмотрим свойства преобразований Лапласа.
1.Преобразование
Лапласа от производных обобщенной
функции имеет вид:
2.
Преобразование Лапласа тензорного
произведения обобщенных функций
вычисляется по формуле
3. Преобразование Лапласа свертки обобщенных функций будет равно
