7.Интегрирование обобщенных функций.

Опр. Первообразной обобщенной функции назыв. обобщенная функция , производной которой является данная функция , т.е.: (1).

F+C-также первообразная обобщённой функции,где C-регулярная обобщённая функция,порождённая постоянной функцией.

Действительно, . Таким образом, в отличии от производной первообразная обобщенной функции определена неоднозначно.

Опр. Совокупность все первообразных обобщенной функции назыв. неопределенным интегралом обобщенной функции . Обозначается

,

Теорема1:

Любая обобщенная функция имеет первообразную.

Примеры вычисления неопределённых интегралов от обобщённых функций:

, так как [t]’=

Своиства неопределенного интеграла от обобщенной функции:

1. .В самом деле,пусть образная обобщённой функции f.Тогда согласно теореме1 если G , то G=F+C.Дифференцируя получим ,от куда и следует (1).

2. , действительно,f- является первообразной для обобщённой функции .Тогда,применяя теорему 1, получим,что любая первообразная обобщённой функции представима в виде f+c, откуда следует (2).

3. (однородность).Действительно,пусть F-первообразная обобщённой функции f.Тогда -первообразная обобщённой функции , так как ,если G , то G= .Обратно,если G ,то G=F+C, и значит имеем

4. (аддитивность).Действительно, пусть F-первообразная обобщённой функции f, G-первообразная обобщённой функции g.Тогда F+G-первообразная обобщённой функции f+g,так как (F+G)’=F’+G’.Поэтому,если H то H=F+G+C=(F+C)+(G+C)

8. Носители обобщенных функций.

Опр. Пусть G – открытое мн-во на числовой оси. Говорят, что обобщенная ф-ция f обращается в нуль (или равна нулю) на мн-ве G, если для любой финитной ф-ции x из D, носитель которой содержится в мн-ве G, имеем : f(x)=0.

Теорема 1( о существовании наибольшего мн-ва, на котором обобщенная ф-ция обращается в нуль) Для любой обобщенной ф-ции f существует наибольшее открытое мн-во , на котором f обращается в нуль.

Опр. Носителем обобщенной ф-ции f называется множество, обозначаемое sup f, являющееся дополнением к наибольшему открытому мн-ву , на котором f обращается в нуль, т.е. .

Примеры:

1.

2.

3.

4.

5.

Теорема 2 ( о носителе производной) Для любой обобщенной ф-ции f носитель f’ содержится в носителе обобщенной функции f, т.е. имеет место следующее соотношение:

.

Теорема 3 ( о носителе первообразной) Для любой обобщенной ф-ции f, носитель которой содержится в замкнутой полуоси , , существует единственная первообразная F, носитель которой также содержится в , т.е. имеет место следующее соотношение

.

Опр. Обобщенная ф-ция с компактным носителем называется обобщенной финитной ф-цией.

Теорема 4 ( о конечной сингулярности финитных обобщенных ф-ций). Любая финитная обобщенная ф-ция имеет конечный порядок сингулярности.

Теорема 5 ( о распространении финитных обобщенных функций на пространство ) Любую финитную функцию можно распространить до функционала, определенного на пространстве .

Лемма (о плотности D в пространстве ) Пространство D всюду плотно в пространстве , т.е. любая ф-ция из может быть представлена в виде предела последовательности финитных ф-ций.

Теорема 6 ( о единственности распространения финитных обобщенных ф-ций) Распространение финитной обобщенной ф-ции до линейного непрерыного функционала на пространстве есдинственно.

Теорема 7 ( об обобщенной ф-ции с точечным носителем) Если носитель обобщенной ф-ции f – одноточечное множество {s} , то такие неотрицательное число m и константы , что f представима в следующем виде:

.