5.Определение обобщенной функции. Алгебраические действия над обобщенными функциями.

Пусть – пр-во финитных функций.

Опр. Линейный непрерывный функционал на пр-ве наз. обобщенной функцией (на числовой оси ).

– пр-во обобщенных функций (сопряженное к ).

Число наз. значением обобщенной ф-ции на финитной ф-циии , и обознач.:

В пр-ве определены операции сложения и умножения на число:

1) Если , то

2) Если – число и , то

Док-ва, что так определенные функционалы и линейны и непрерывны в пр-ве , т.е. явл. обобщенными ф-циями, легко следуют из определений.

Из последнего рав-ва следует : .

Так, если и - обобщенная ф-ция, то

(1)

Т.к. произведение бесконечно дифференцируемой ф-ции на финитную ф-цию явл. финитной ф-цией, то рав-во (1) корректно. Докажем, что оно определяет обобщенную ф-цию . Т.к. – обобщенная ф-ция, то

:

, (2)

где

.

Подставляя это нер-во в (2) получим,

Отсюда следует, что – обобщенная ф-ция.

3) Рассмотрим операцию замены переменной. Пусть – биективная бесконечно дифференцируемая ф-ция на числовой прямой. Если – непрерывная ф-ция на числовой прямой, то для имеем:

(3)

где берется знак +, если , и знак -, если . Обозначим .

Тогда (3):

Если – регулярная обобщенная ф-ция, порожденная ф-цией , а – регулярная обобщенная ф-ция, порожденная ф-цией ( - операция композиции), то получим

(4)

Так, композицией обобщенной ф-ции и биективной ф-ции (бесконечно дифференцируемая) наз. обобщенная ф-ция , которая удовлетворяет соотношению (4).

Обобщенная ф-ция обозначается также , а про ф-цию говорят, что она осуществляет замену аргумента в обобщенной ф-ции .

6.Дифференцирование обобщенных ф-ций

Одной из наиболее важнейших операций над обобщенными ф-ми явл операция дифф-ния.

Пусть f – регулярная обобщённая ф-ция, порожденная непрерывно дифференцируемой на числовой оси функцией f(t). Тогда . Применяя ф-лу интегрирования по частям, получим: , .

Опр. Производной обобщённой ф-ции f называется обобщенная функция , определяемая равенством (1)

Понятие производной ф-ции определено для любой обобщённой ф-ции. Оператор дифферен-ния обобщенной ф-ций (D) – это оператор, сопоставляющий любой обоб. ф-ции ее производную. D – линейный оператор, обладает след. св-ми:

1.однородность: и

2.аддитивность: .

D – лин-ый оператор, действующий из про-ства в прос-во .

Cправедлива cледующая ф-ла (2)

Д-во: ,

Примеры. 1) Пусть – регулярная обоб ф-ция, порожденная ф-ей Хевисайда , тогда , т.е.

2)sgn – регулярная обоб ф-ция, порожденная ф-ей , , т.е. = .

3) - регулярная обоб ф-ция, порожденная ф-ей , тогда , т.е. = .

Опр. Производной второго порядка обобщённой ф-ии наз обобщённая ф-ция , являющаяся производной от производной первого порядка обоб ф-ии , т.е.

тогда .

Пример. из примера 2) и 3) => = и = => mod’’=(mod’)’=sgn’=2 . Оператор, сопостовляющий любой обоб ф-ии ее 2-ую производную, будем обозначать

Опр. Производной n-ого порядка обобщённой ф-ции наз обобщённая ф-ция , явл производной от производной (n-1)-го порядка обобщённой ф-ции, т.е. . . Линейный оперетор, сопост-ий обоб щённой ф-ции ее n-ую производную - .