Уравнения прямой на плоскости Общее уравнение прямой
- общее уравнение прямой, где A,
B, C
– произвольные числа, причем A
и B не равны нулю
одновременно.
- нормальный вектор прямой l;
(Рис. 1).
Рис. 1
Следует запомнить: если прямая параллельна какой – нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.
,
- прямая проходит через начало координат.
,
- прямая параллельна оси
.
,
- прямая параллельна оси
., ,
- прямая совпадает с осью
., ,
- прямая совпадает с осью
.
Каноническое уравнение прямой
Положение прямой l на плоскости
вполне определяется заданием какой –
либо ее точки
и вектора
,
параллельного данной прямой или лежащего
на ней. Этот вектор называется направляющим
вектором прямой l (Рис. 2).
- текущая точка прямой l.
- каноническое уравнение прямой.
Рис. 2
Параметрические уравнения прямой
- параметрическое уравнение прямой.
Замечание.
В уравнениях t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр; x, y – как функции от t.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
записывается следующим образом:
,
где
- угловой коэффициент. (Рис. 3).
Рис. 3
Тангенс угла наклона прямой к оси называется угловым коэффициентом прямой.
b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси или начальная ордината.
Замечание.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом разрешено относительно текущей координаты y.
Уравнение прямой в отрезках
Уравнение
прямой в отрезках:
(Рис. 4).
Рис. 4
а – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ;
b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси .
Замечание.
Особенности этого уравнения: в левой части уравнения между дробями стоит знак плюс, величины a и b могут быть как положительными, так и отрицательными, правая часть уравнения равна единице.
Нормальное уравнение прямой
Нормальное
уравнение прямой:
(Рис.
5).
Рис. 5
p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую;
- угол, который образует этот перпендикуляр с положительным направлением оси .
Следует запомнить.
Для приведения общего уравнения прямой
к нормальному виду обе его части надо
умножить на нормирующий множитель
,
причем перед дробью следует выбрать
знак, противоположный знаку свободного
члена С в общем уравнении прямой.
Замечание.
Особенности нормального уравнения прямой: сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах равна единице, свободный член отрицателен, а правая часть его равна нулю.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
Уравнение прямой, проходящей через
данную точку
в данном направлении, определяемом
угловым коэффициентом: k:
.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Уравнение
прямой, проходящей через две данные
точки А
и В
:
где
текущие
координаты.
- угловой коэффициент прямой, проходящей
через две данные точки.
Текущие координаты - это координаты переменной точки прямой.
Углом между прямыми (I) и (II) (см. рис. 6), рассматриваемыми в указанном порядке, будем называть тот угол, на который нужно повернуть прямую (I), чтобы она совпала с (II) (или стала ей параллельна)
Замечание 1. Если речь идет об угле между двумя прямыми и не указан порядок, в котором они рассматриваются, то можно устанавливать этот порядок произвольно. Очевидно, изменение порядка повлечет за собой изменение знака для тангенса угла.
Замечание
2. В формуле для вычисления
знак «+» соответствует острому углу ,
а знак «-» тупому.