7) Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.Е. Определитель матрицы а

 = det (a_{i j})

и n вспомогательных определителей  _i (i= ), которые получаются из определителя  заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

  x _i =  _i ( i  =  ).                                                (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x _i =  _i / .

Если главный определитель системы  и все вспомогательные определители  _i = 0 (i=  ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы  = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

8) Метод элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие:

1. Перестановка строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

4. Вычёркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю.

З а м е ч а н и е . 1) Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы; 2) матрицы, полученные одна из другой путём элементарных преобразований, называются эквивалентными (обозначаются A ~ В).

Чтобы вычислить ранг матрицы А, путём элементарных преобразований сводим её к ступенчатому виду (в частности к треугольному), выделяя наибольший минор, отличный от нуля.

A~

9) Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размером m х n

Выберем в ней произвольно s разных строк и s столбцов, причем 1 <= s <= min (m, n), где min (m,n) - меньшее из чисел m и n.

Элементы, попавшие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу порядка s.

Определитель этой матрицы называется минором порядка s матрицы А. Например, если дана матрица

то, взяв первую и третью строку, третий и пятый столбец, получим матрицу второго порядка и ее определитель

Этот определитель является минором второго порядка для исходной матрицы. Аналогично можно получить остальные миноры второго порядка и третьего порядка. Некоторые из миноров могут оказаться равными нулю.

Ранг матрицы - наибольший из порядков ее миноров не равных нулю. Ранг матрицы А обозначают одним из символов: rang А, r. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг ее считается равным нулю.

Из определения ранга матрицы получаем следующие утверждения:

1. Ранг матрицы определяется целым числом, заключенным между 0 и меньшим из чисел m, n.

2. Ранг матрицы равен нулю, если матрица нулевая.

3. Для квадратной матрицы n-го порядка r = п тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

При нахождении ранга матрицы можно пользоваться свойствами миноров. Если все миноры определенного порядка матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю. Таким образом, если среди миноров порядка k данной матрицы есть отличные от нуля, а всё миноры порядка k + 1 равны нулю или не существуют, то r= k.