2.8. Устойчивость амплитуды вынужденных колебаний

Рассмотрим вопрос об устойчивости амплитуды установившегося режима вынужденных колебаний. В установившемся режиме работа вынуждающей силы должна компенсировать работу силы сопротивления: в течении периода Т = работа силы сопротивления F_сопр. = v_x должна быть равна работе вынуждающей силы F_x = F₀ cos t.

Вычислим работу через мощность силы: A = Ndt = Fv_xdt. Работа вынуждающей силы за период Т обозначим через А_B:

A_B = = =  F₀ X cos (17)

(см. уравнение 14). Работа A_B идет на увеличение энергии осциллятора. Таким образом, за период T энергия осциллятора увеличивается на величину

E_T =  F₀ X cos = , где cos = (17*)

Работа силы сопротивления А_сопр. за период колебаний равна:

А_сопр. = = = =   X². (18)

Поступающая в осциллятор энергия идет на работу против сил сопротивления. В установившемся режиме A_B = А_сопр.. Этому условию и должна удовлетворять амплитуда установившихся вынужденных колебаний. Учитывая условие A_B = А_сопр., получим выражение для амплитуды установившихся вынужденных колебаний в виде:

X = . (19)

Вследствие того, что амплитуда неотрицательная величина, то cos в (19) берется по модулю. Так как cos = (см. рис. 14), то (19) приводится к виду X = , что, разумеется, совпадает с ранее полученным выражением для амплитуды смещения (10).

На рис. 21 приведены два графика: график работы вынуждающей силы A_B(Х) при некотором значении  и график работы силы сопротивления А_сопр(Х). Работа вынуждающей силы пропорциональна амплитуде смещения Х, а работа силы сопротивления пропорциональна квадрату амплитуды X². Следовательно, графики A_B(Х) и А_сопр.(Х) пересекаются. Точка пересечения графиков соответствует установившемуся режиму вынужденных колебаний, т.е. условию A_B = А_сопр..

Установившаяся амплитуда вынужденных колебаний обладает устойчивостью. Действительно, допустим, по какой-либо причине амплитуда уменьшилась до значения Х₁. В этом случае работа вынуждающей силы, которая отображена на графике точкой 1, превосходит работу силы сопротивления, которая отображена точкой 1*. Это приводит к увеличению амплитуды до первоначального устойчивого значения Х. Если амплитуда случайным образом увеличивается до Х₂, то работа силы сопротивления (точка 2*) становится больше работы вынуждающей силы (точка 2), что приводит к уменьшению амплитуды до устойчивого значения Х.

2.9. Добротность осциллятора (физический смысл)

Выражение для добротности колебательной системы (осциллятора) нами приведено в § 2.3: Q = =  N_e. Добротность Q выражена как число пропорциональное числу колебаний N_e, которое совершает осциллятор в отсутствии внешней вынуждающей силы за время затухания колебаний  ( = = секунд). Напомним, время затухания  (время релаксации) – время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз. Остановимся на физическом смысле добротности.

Первоначальная энергия, содержащаяся в осцилляторе, затрачивается на работу против сил сопротивления, что и приводит к затуханию колебаний в отсутствии внешней вынуждающей силы. В этой связи добротность Q рассматривается как характеристика быстроты уменьшения энергии осциллятора при затухающих колебаниях.

При затухающих колебаниях x(t) = Ae ^{ t} cos (^/t + ) амплитуда уменьшается по закону Ae ^{ t} = A , где: A – начальная амплитуда осциллятора,  - начальная фаза, ^/ = = - частота затухающих колебаний. Энергия осциллятора E пропорциональна квадрату амплитуды A² :

E = E₀ . (20)

Из (20) видно, что за время t = = секунд энергия осциллятора становится равной , т.е. уменьшается в e ≈ 2,7 раз. За время t = = осциллятор совершит колебаний, и фаза изменится на величину ^/t = ^/ радиан. Добротность определяется как число радиан, на которое изменяется фаза затухающих колебаний при уменьшении энергии осциллятора в e ≈ 2,7 раз: Q = .

В обычных колебательных системах коэффициент затухания много меньше собственной частоты системы ₀ >> , поэтому можно приблизительно считать, что

^/ ≈ ₀ = .

В этом приближении добротность примет вид:

Q = или (21)

Q = = . (22)

где  - время затухания колебаний (время релаксации), за которое осциллятор успевает совершить N_e ( = = ). Добротность является одной из важных собственных характеристик колебательной системы.

Покажем, что из (21) следует формула: Q =  N_e. Если в некоторый момент времени смещение принимает, например, амплитудное значение, то при изменении фазы затухающего колебания на 2 радиан, смещение опять принимает амплитудное значение. Отношение = , но ₀ = 2T, = 2 = , поэтому = . За время затухания  осциллятор успевает совершит N_e колебаний: N_e = , где T - период колебаний (N_e равно числу колебаний, через которое амплитуда уменьшается в e ≈ 2,7 раз). Итак, имеем:

= или Q =  N_e.