2.7. Импеданс и фазовые соотношения между скоростью и вынуждающей

силой. Резонанс скорости

Дифференцируя смещение (13) по времени, получим выражение для скорости:

= X = X , (14)

где V = = X – амплитуда скорости. Из сравнения (12) и (14) следует:

с корость v_x(t) = X и вынуждающая сила F_x(t) = F₀ cost сдвинуты по фазе на угол . Фаза  может принимать значения от ( ) до (+ ) радиан (от 90⁰ до +90⁰). При условии фаза  = 0. В этом случае частота вынуждающей силы  равна собственной частоте ₀, и между скоростью и вынуждающей силы отсутствует сдвиг фаз, а механический импеданс приобретает минимальное значение и равен только ее активной части:

 = =  (см. также рис. 14). На рисунке 18 приведен график зависимости разности фаз между скоростью и вынуждающей силой. Так как механический импеданс  минимален при условии, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой , то в этом случае амплитудное значение скорости приобретает максимальное значение из всех возможных, т.е. наблюдается резонанс скорости. Амплитудное значение скорости V = (см. уравнение14). Резонансное значение амплитуды скорости наступает при , т.е. при условии m = k/ (т.к. = k/m):

V_р. = = = . (15)

На рис.19 приведен график зависимости амплитуды скорости V от частоты вынуждающей силы  – график функции V() = = .

Обратите внимание, максимальное поглощение энергии осциллятором – резонансное поглощение энергии – происходит при резонансе скорости (сравни кривую «2» на рис. 17-б и график на рис. 19), т.е. при частоте  = ₀ = .

Из выражения для амплитуды скорости следует феноменологический смысл механического импеданса ( = ): механический импеданс - это сила, которая необходима для сообщения колебательной системе единичной амплитудной скорости. Заметим, формула V = = аналогично закону Ома для переменного тока:

I₀ = = ,

где I₀ и U₀ – амплитудные значения тока и напряжения, Z = импеданс электрической цепи.

Всегда полезно то или иное следствие теории представлять в разных формах. Подставим в исходное дифференциальное уравнение уравнения ускорения a_x(t)  , скорости v_x(t)  и смещения смещение x(t):

²Xcos (t   +  ) + 2X + Хcos (t  ) = . (16)

Н а векторной диаграмме член Хcos (t  ) направим по лучу отсчета (рис. 20). Этому члену на диаграмме соответствует вектор, модуль которого равен Х. Тогда векторная диаграмма члена 2X будет повернута против часовой стрелки на радиан. Этому члену на диаграмме соответствует вектор, модуль которого равен 2X. Векторная диаграмма члена ²Xcos (t   +  ) будет повернута на  радиан. Этому члену соответствует вектор, модуль которого равен (²X). Модуль результирующего вектора, в соответствии с (16), равен и повернут относительно вектора смещения на угол . В зависимости от соотношений между ²X и Х угол  может принимать значения от 0 до  (рис. 20 - а, б). Из диаграммы следует выражение для разности фаз :

tg  = . (16*)