Глава 2. Основные положения теории колебаний

2.1. Исходные понятия теории колебаний. Гармонический осциллятор

1. Физические величины

К физическим системам, в которых осуществляется колебательный процесс, относятся, например, пружинный маятник как механическая колебательная система; колебательный контур как электромагнитная система; атом, совершающий колебания в узлах кристаллической решетки и представляющий собой квантовую колебательную систему т.п. Любая физическая система, в том числе и колебательная, количественно характеризуется физическими величинами. Эти величины можно разбить на два класса – на параметры и динамические переменные.

Параметры характеризуют собственные свойства физической системы. К параметрам относятся масса системы m, разного рода коэффициенты - коэффициент вязкости среды , жесткость пружины k, собственная частота колебательной системы ₀ и т.п. Параметры физической системы не изменяются при изменении состояния физической системы. Динамические переменные определяют состояние системы. Каждому состоянию соответствует свои значения динамических переменных. Примерами динамических переменных в механических системах являются координаты {x, y, z}, скорость v, ускорение a, сила F, энергия E, импульс p. В электромагнитных системах примерами динамических переменных являются напряженность электрического поля E, индукция магнитного поля B, энергия электромагнитного поля E. Изменение состояния физической системы выражается в изменении динамических переменных. Знание состояние системы в данный момент времени означает знание всех динамических переменных в этот момент времени (¹). Описать колебательный процесс означает выявить закономерности изменения динамических переменных с течением времени.

2. Уравнения колебаний гармонического осциллятора

В колебательном процессе наблюдается определенная повторяемость во времени динамических переменных, характеризующих состояние колебательной системы. Если некоторая динамическая переменная s(t) повторяется через равные промежутки времени T (т.е. если s(t) = s(t+nT) для любого значения t, где n = 1, 2, 3 …), то колебательный процесс называется периодическим. Колебательная система как материальный объект называется осциллятором, если динамические переменные системы изменяются по некоторому периодическому закону. Разумеется, колебания совершает осциллятор, однако в дальнейшем мы будем использовать выражения типа: «Координата (импульс, энергия …) колеблется по закону …».

Промежуток времени T называется периодом колебания динамической переменной s(t) осциллятора. Пусть за время t совершено N полных колебаний. Число колебаний за единицу времени называется частотой периодического колебания. Так как при периодических колебаниях t = N T, то . Единица частоты  имеет собственное название – герц (Гц): 1Гц = 1 с^-1.

Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, т.е. колебания, совершаемые по закону синуса (косинуса): s(t) = A cos [(t)], где (t) – фаза колебания динамической переменной s(t). Соответствующая колебательная система называется гармоническим осциллятором. Примером гармонического колебания динамической переменной является колебание координаты материальной точки, которая равномерно движется по окружности (рис.1).

П усть материальная точка движется равномерно по окружности против часовой стрелки. Совместим начало координат с центром окружности. Положение материальной точки можно задать или радиус-вектором A, или соответствующими координатами {x, y}. В начальный момент времени радиус-вектором A повернут относительно оси ОХ на угол . При равномерном вращении угловую скорость радиус-вектора  = можно определить как отношение полного угла поворота ( = 2 радиан) к периоду вращения T, т. е.  = . За время t радиус-вектор повернется на угол t. Из рисунка видно, что текущие координаты x и y со временем изменяются по закону синуса (косинуса):

x(t) = A cos(t + ) и y(t) = A sin(t + ), (1)

Величины A = А, , T в уравнениях колебаний координат (1) приобретают своеобразный смысл в сравнении с соответствующими величинами, характеризующими вращательное движение.

Величина А – называется амплитудой колебания координаты, т.е. максимального отклонения координаты от нулевого значения. Амплитуда – всегда положительна, а при гармонических колебаниях – еще и постоянна.

Величина  в уравнениях (1) называется циклической частотой и характеризует быстроту изменение фазы колебания (t) = (t + ) в единицу времени. Действительно, имеем: . Фаза гармонического колебания (t) = (t + ) определяет значение колеблющейся физической величины в данный момент времени t. При гармонических колебаниях ( = = 2). Единицей циклической частоты является 1 . Т.к. угол – безразмерная величина, то можно записать: 1 = 1с^-1. Не следует путать циклическую частоту  с частотой  как числа колебаний в единицу времени. Например, если  = 10 с^-1, то это означает, что за 1 с фаза колебания изменяется на 10 радиан, а величина  = 10 с^-1 = 10 Гц указывает, что за секунду совершается 10 полных колебаний.

Время T приобретает смысл периода колебаний координат, т.е. времени одного полного колебания.

При описании колебательного процесса часто необходимо знать закон изменения первой и второй производной. Допустим, интересующей нас динамической переменной является координата тела, изменяющаяся по гармоническому закону: x(t) = A cos(t + ). Тогда первая производная - это проекция скорости на ось 0Х, вторая производная – проекция ускорения:

v_x = = ; а_x = = =  ²x, (2)

где: v₀ = А - это амплитуда скорости; а₀ = ²А – амплитуда ускорения.

Пример

1. Шарик массой m = 100 г, прикрепленный к достаточно жесткой пружине, совершает свободные гармонические колебания вдоль оси 0X с частотой  = 16 Гц. Амплитуда колебания координаты x равна 5 мм, начальная фаза колебаний  = 45⁰. Записать уравнения колебаний в системе СИ для координаты x(t), проекции скорости v_x(t), проекции ускорения a_x(t) , проекции импульса p_x(t) через функцию косинуса. Определить законы изменения кинетической энергии шарика E_к(t), потенциальной энергии упругодеформированной пружины U(t) и полной механической энергии этого осциллятора.

Решение.

1. Колебание осциллятора совершается вдоль оси 0X. Запишем уравнение колебания координаты x через функцию косинуса:

x(t) = A cos(t + ), (*)

тогда уравнение для проекции скорости примет вид:

v_x =   A sin(t + ) =  A cos(t +  + ), (**)

а уравнение проекции ускорения – а_x =  ²A cos(t + ) = ²A cos(t +  + ). (***)

Т.к. p_x = mv_x, то закон колебания проекции импульса имеет вид:

p_x = mA cos(t +  + ), (****)

где p_x0 = mA – амплитуда импульса. Обратите внимание, колебания скорости (**) и импульса (****) опережают по фазе колебания координаты (*) на /2 радиан (на 90⁰), а ускорение (***) находится в противофазе с координатой (разность фаз равна  радиан или 180⁰).

Имеем:  = 2 = 6,2816 =100 (с^-1);  = 45⁰ = /4 рад. (или  = 0,785 рад.);

v₀ = А =100510^3 = 0,5 (м/с); p_x0 = mA = 10^1100510^3 = 510^2 (кгм/с);

а_x0 = ²A = 100²510^3 = 50 м/с².

Уравнения примут вид:

x(t) = 510^3 cos(100t + /4); v_x = 0,5 cos(100t + 3/4); а_x = 50 cos(100t + 5/4);

p_x = 510^2 cos (100t + 3/4).

Видно, что разные динамические переменные одного и того же осциллятора совершают колебания со сдвигом фаз по отношению друг к другу.

2. Закон изменения кинетической энергии:

E_к(t) = = sin²(t + ) = [  cos (2t + 2)], (#)

где E_{к, max} =  максимальное значение кинетической энергии шарика.

Закон потенциальной энергии: U(t) = = cos²(t + ) = [ + cos (2t + 2)], (# #)

где U_max = - максимальное значение потенциальной энергии пружины.

Кинетическая и потенциальная энергии изменяются с частотой 2, т.е. в два раза превышающей частоту колебаний координаты. Из сравнения (#) и (# #) следует, что кинетическая и потенциальная энергия изменяются в противофазе: когда потенциальная энергия достигает максимума, кинетическая энергия равна нулю и наоборот. При свободных гармонических колебаниях собственная частота осциллятора ² = , следовательно = . Полная механическая энергия не изменяется в процессе колебаний:

W = E_к(t) + U(t) = = .