2 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью функции rkfixed
Встроенная функция rkfixed (метод Рунге – Кутта с фиксированным шагом решения) позволяет решать только обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) первого порядка или системы таких уравнений. Уравнения порядка выше первого требуется преобразовывать в систему уравнений первого порядка.
Задача Коши для ОДУ n–го порядка ставится следующим образом: найти решение уравнения при заданных начальных условиях:
y
(n)=f(x,y,y',y'',…,y(n-1))
y(x0)=y0
y'(x0)=y01 (7)
……………….
y(n-1)(x0)=y0(n-1),
здесь y(m) - производная m порядка от решения, m=1,2,…,n .
Основной прием, используемый при решении задач типа (7), заключается во введении новых переменных и сведении задачи решения ОДУ высокого порядка к решению системы уравнений первого порядка. Введем новые переменные
y1=y
y2=y'
…………
yn=y(n-1) ,
тогда задачу (7) можно представить в виде системы n ОДУ первого порядка:
y
'1=y2
………………
y'n-1=yn
y'n=f(x,y1,…,yn-1) (8)
y1(x0)=y01
y2(x0)=y02
……………….
yn(x0)=y0n.
Пусть необходимо решить задачу Коши для ОДУ второго порядка:
y''=f(x,y,y')
при заданных начальных условиях:
y(x0)=y0 (9)
y'(x0)=y01 .
Путем введения замены y1=y сведем (9) к системе
y
'1=y2
y'2= f(x, y1,y2) (10)
y1(x0)=y01
y2(x0)=y02.
Пример. Решим методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее колебательное звено:
T2 y'' + 2ξT y' + y = 0 или y'' = - 2ξ/T y' - 1/T2 y
при заданных начальных условиях t0 =0, y(t0)=1, y'(t0)=0 и заданном конце счета tk= 13. Здесь Т- постоянная времени, ξ – коэффициент затухания.
Система уравнений (10) примет следующий вид:
y
'1=y2
y'2= - 2ξ/T y2 - 1/T2 y1 (11)
y1(t0)=1
y2(t0)=0.
Записав правые части и начальные условия в виде векторов, получим
y2
1
F(t,y)= , v= ,
- 2ξ/T y2 - 1/T2 y1 0
где F(t, y) – это вектор правых частей системы, v – вектор начальных условий.
При формировании данного вектора надо обратить внимание на следующее:
1. Вместо буквы F можно использовать любую другую букву. Но тогда и в параметрах встроенной функции нужно, естественно, использовать ту же букву.
2. Внутри скобок первое имя (в данном примере t) является именем аргумента, по которому происходит интегрирование дифференциального уравнения. Ранее в тексте использовалась буква x.
3. Вторая буква внутри скобок – это вектор имен зависимых переменных. Если принято имя y, то именами переменных должны являться y1, y2 и т.д., причем первое уравнение – это
dy1 /dt =……, второе
dy2/dt = …… и т.д.
Выполним численное решение (11) для следующих значений параметров колебательного звена: Т=2, =0.3. Для этого необходимо загрузить программу SMath Studio и ввести в программу параметры дифференциальных уравнений (T, ξ ), начальные условия, векторы правых частей системы уравнений и оформить встроенную функцию rkfixed, как показано на рис. 3. Здесь необходимо обратить внимание на разное написание нижних индексов у элементов массива y1, y2 (управление символом «[») и подстрочных символов t0 и tk (управление символом ”.”).
После щелчка левой кнопкой мыши по свободному месту рабочего поля выполняется решение задачи. Фрагмент матрицы Y численного решения уравнения показан на рис. 3.
Рис. 3
В первом столбце показаны значения аргумента (время), во втором – сама функция и в третьем – производная. Для вывода матрицы на экран необходимо выполнить ее умножение на единицу и ввести оператор присвоения.
Рис. 3
Для построения графиков полученного решения необходимо с помощью функции col (Имя массива; Номер столбца массива) сформировать из столбцов матрицы Y вектора, которые используются функцией augment для построения графиков (рис. 4).
|
Рис. 4 |
Рис. 5