§2. Классификация задач

В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет и т.п. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать (т.е. разделить на группы по выбранному основанию):

по числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;

по соответствию числа данных и искомых;

по фабуле задачи;

по способам решения и др.

Положив в основание классификации число действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой. Задачу, для решения которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной.

Пример 1. 3. Саше 7 лет, он на 3 года старше Тани. Сколько лет Тане?

Данная задача является простой.

Пример 1.4. Будем считать, что айсберг представляет собой прямоугольный параллелепипед. Известно, что его высота над водой равна 36 м, что составляет 1/6 часть всей его высоты. Ширина айсберга в 125 раз больше его высоты, но в 3 раза меньше его длины. Определите объем айсберга.

Данная задача является составной.

Выбрав в качестве основания классификации соответствие числа данных и искомых задачи, выделяют задачи определенные, задачи с альтернативным условием, неопределенные и переопределенные задачи. Чаще всего в задачах число условий (зависимостей между величинами) соответствует числу данных и искомых. Но встречаются задачи, в которых этого соответствия нет.

Определенные задачи – это задачи, в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа.

Пример 1.5. Два переплетчика должны переплести 384 книги. Один из них переплетает по пять книг в день и уже переплел 160 книг. Сколько книг в день должен переплетать другой переплетчик, чтобы закончить работу в один день с первым?

В данной задаче число условий соответствует числу данных и искомых. Поэтому она имеет решение и является определенной.

Задачи с альтернативным условием – это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.

Пример 1.6. От одной пристани по реке одновременно отправляются два катера. Один движется со скоростью 17 км/ч, а второй – со скоростью 19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 2 ч, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

В задаче не сказано, в одном направлении или нет отправляются катера. Если считать, что они отправились в одном направлении, получим один ответ, если в противоположных направлениях – другой.

Неопределенные задачи – задачи, в которых условий недостаточно для получения ответа.

Пример 1.7. На складе было 392 банки вишневого, малинового и клубничного варенья. Банок с вишневым вареньем было в 3 раза больше, чем малинового. Сколько весит вишневое варенье, если в каждой банке его 800 г?

В задаче недостаточное число данных (в ней нет данных о количестве банок с клубничным вареньем). Для того чтобы ее решить, необходимо дополнить условие.

Переопределенные задачи – задачи, имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом. Такие условия называют лишними. Следует иметь в виду, что при решении задачи другим способом лишними могут оказаться уже другие условия. Если в переопределенной задаче лишние условия не противоречат остальным условиям, то она имеет решение.

Пример 1.8. В одной печи можно обжечь 39 000 кирпичей за шесть дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за пять дней. За сколько дней можно обжечь 143 000 кирпичей, используя обе печи одновременно, если в первой печи за один день обжигают на 1 300 кирпичей меньше, чем во второй?

Задача имеет одно решение: используя обе печи одновременно, можно обжечь 143 000 кирпичей за 10 дней. Здесь условия «в одной печи можно обжечь 39 000 кирпичей за шесть дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за пять дней» и «в первой печи за один день обжигают на 1 300 кирпичей меньше, чем во второй» не противоречат друг другу.

Иногда лишние условия задачи противоречивы.

Пример 1.9. Из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Спустя 3 ч из пункта В ему навстречу вышел другой поезд, скорость которого на 10 км/ч больше, чем у первого. Расстояние между пунктами 570 км. Сколько часов до встречи был в пути второй поезд, если его скорость в 1,5 раза больше скорости первого поезда?

В задаче одно условие лишнее. Причем условия «скорость второго поезда на 10 км/ч больше, чем у первого» и «скорость второго поезда в 1,5 раза больше скорости первого поезда» противоречат друг другу. Эта задача может иметь решение, если исключить одно из условий. Если исключить кратное отношение, то получим ответ: второй поезд был в пути 3 ч. Если же исключить разностное отношение, то получим другой ответ: второй поезд был в пути 2,6 ч.

Иногда лишние условия при решении задачи не используются и не влияют на ответ.

Пример 1.10. На речном вокзале за три дня было продано 42 билета второго и третьего классов. Билетов второго класса было продано в 2 раза меньше, чем третьего. Сколько денег получил кассир за все проданные билеты, если билет второго класса стоил 120 р., а третьего – на 30 р. дешевле?

В задаче имеется лишнее условие (три дня).

В начальном курсе математики неопределенные задачи называют задачами с недостающими данными, а переопределенные – задачи с избыточными данными.

Положив в основание классификации фабулу задачи, чаще всего выделяют такие группы задач: «на движение», «на работу», «на смеси и сплавы», «на смешение и концентрацию», «на проценты», «на части», «на время», «на покупку и продажу» и т.п. Классифицировать задачи, исходя из фабулы условия, очень сложно, т.к. тематика условий задач бывает порой очень разнообразной.

Множество задач, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, входящими в эти задачи, при возможном различии их числовых данных и фабул образуют определенный вид задач. Задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель. Положив в основание классификации способы решения задач, можно выделить такие группы задач:

1) задачи на тройное правило;

2) задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;

3) задачи на пропорциональное деление;

4) задачи на исключение одного из неизвестных;

5) задачи на среднее арифметическое;

6) задачи на проценты и части;

7) задачи, решаемые с конца, или «обратным ходом» и т.д.

При решении задач различными методами используют, как правило, «свою» классификацию задач. Так, при алгебраическом методе решения чаще всего в качестве основания классификации берут фабулу задачи, а при решении арифметическим методом задачи классифицируют по способам их решения. Однако следует отметить, что такое разбиение задач на группы, строго говоря, не является классификацией, т.к. в этих случаях, с одной стороны, появляются задачи, которые не могут быть отнесены ни к одной из образовавшихся групп, с другой стороны, существуют задачи, которые могут быть отнесены к нескольким указанным группам.

Пример 1.11. В двух сосудах 100 л спирта. В одном из них на 10 л больше, чем в другом. Сколько литров спирта в каждом сосуде?

При предложенной классификации по фабуле задачу невозможно отнести ни к одной из выделенных групп задач («на движение», «на работу» и т.п.), дополнив предложенную классификацию группой задач, например «на сосуды», данную задачу можно отнести к этому классу. Однако легко понять, что остается большое число задач, которые все же нельзя отнести ни к одной из выделенных групп. Например, задачу «Четыре чашки и один кувшин для воды весят столько, сколько 17 свинцовых шариков. Кувшин весит столько, сколько одна чашка и 7 шариков. Сколько шариков уравновешивают кувшин?» следует отнести к большой группе задач, которую можно назвать, скажем, задачи «на взвешивание». И этот процесс разбиения множества задач на классы по фабуле, вообще говоря, практически завершить невозможно.

Пример 1.12. В двух таксопарках 117 машин. В первом из них машин в 2 раза больше, чем в другом. Сколько машин в каждом таксопарке?

При предложенной классификации по способам решения задачу можно отнести к задачам на нахождение неизвестных по результатам действий (ко 2-й группе) и к задачам на пропорциональное деление (к 3-й группе).

Вместе с тем с точки зрения учебных целей эти и подобные им «классификации» задач удобны. Они дают возможность выделить наиболее типичные виды задач и усвоить стандартные способы их решения.