§1. Понятие «Текстовая задача». Структура задачи

Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и т.д.). Перечисленные названия берут начало от способа записи (задача представлена в виде текста), сюжета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычислениями). В последнее время наиболее распространенным является термин «текстовая задача».

Текстовой задачей будем называть описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий.

Придерживаясь современной терминологии, можно сказать, что текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т.п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики.

Пример 1.1. Расстояние между городами А и В равно 195 км. Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выходят два поезда и идут до встречи 3 ч; после встречи поезд из А тратит на прохождение расстояния от места встречи до В на 13/14 ч больше, чем тратит поезд, идущий из В, на прохождение расстояния от места встречи до А. определить скорость каждого поезда.

В задаче описывается движение двух поездов. Любое движение характеризуется тремя величинами: пройденным расстоянием, скоростью и временем движения. В данной задаче известно, что поезда прошли одно и то же расстояние, равное 195 км. Дано время движения поездов до встречи. Кроме того, известно, что один из поездов был в пути на 13/14 ч больше, чем второй. Необходимо найти количественные характеристики скоростей движения поездов.

Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.

В каждой задаче можно выделить:

а) числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не меньше двух);

б) некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);

в) требование или вопрос, на который надо найти ответ.

Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т.е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, называют условием (или условиями) задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.

Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их также может быть несколько. Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин – искомыми, или неизвестными.

Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Для того чтобы уяснить структуру задачи, надо выявить ее условия и требования, т.е. построить высказывательную модель задачи.

Пример 1.2. Выделим условия и требования в задаче «Собака погналась за лисицей, которая была от нее на расстоянии 30 м. Скачок собаки 2м, скачок лисицы 1 м. В то время, как лисица делает три скачка, собака делает только два скачка. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу? Какое расстояние пробежит собака?»

Условия задачи

1. Собака бежит вдогонку за лисицей.

2. Первоначальное расстояние между собакой и лисицей 30 м.

3. Скачок собаки равен 2м.

4. Скачок лисицы равен 1 м.

5. За то время, как лисица делает три скачка, собака делает только два скачка.

6. Собака догнала лисицу.

Требования задачи

1. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу?

2. Какое расстояние пробежит собака?

Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решить задачу в широком смысле этого слова – это значит раскрыть связи между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т.п.), выполнить действия над данными задачи, используя общие положения, и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения. Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же неодинаковые понятия: 1) решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи; 2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, т.е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения; 3) решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.