§ 3.3. Кеңістіктегі түзулер

кеңістігінде бағыттаушы векторы болатын түзуі берілсін. – осы түзудің бастапқы нүктесі, ал – оның кез келген нүктесі.

1. Түзудің векторлық теңдеуі

жазықтықтағы түзудің сәйкес векторлық теңдеуінен өзгешелігі болмайды (рис.3.13).

2. Векторлық теңдеуді координаталық түрде жазып, түзудің кеңістіктегі параметрлік теөдеуін аламыз:

3. және векторлары коллинеар болғандықтан олардың координаталары пропорционал болады, сондықтан

.

Бұл түзудің кеңістіктегі канондық теңдеуі. Мұнда теңдік таңбалары санына байланысты екі теңдеу бар және бұл теңдіктерді пропорция ретінде қабылдау керек. Бөлшек бөлімінде нөлдіктер кездескен жағдайларда түзудің параметрлік теңдеулерімен қолданған тиімді.

Мысал 1. және нүктелері арқылы өтетін түзуі теңдеуін жазу керек.

бағыттаушы векторы координаты болады. Сондықтан, түзудің параметрлік теңдеуі былай жазылады:

ал канондық теңдеуі:

.

Мысал 2. нүктесі арқылы өтетін және жазықтығына перпендикуляр түзуінің теңдеуін жазу керек.

Берілген жазықтықтың нормаль векторы түзуінің бағыттаушы векторы бола алады. Сондықтан, бұл түзудің теңдеуі былай жазылады:

және .

түзуінің бағыттаушы векторы жазықтығына параллель болғандықтан бұл түзу өсіне перпендикуляр болады.

Теорема 1.

және

түзулері арасындағы бұрышы келесі формуламен анықталады:

.

Бұл түзулердің перпендикулярлық шарты:

.

Бұл түзулердің параллелдік шарты:

.

Егер

,

теңдігі орындалса, онда және түзулері беттеседі.

Мысал 3.

және .

түзулері арасындағы бұрыш косинусы және векторлары арасындағы бұрыш косинусы ретінде анықталады:

.

Теорема 2. жазықтығы мен

түзуі арасындағы бұрыш синусы мына формула бойынша анықталады:

.

Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық шарты:

.

Түзу мен жазықтықтың параллелдік шарты:

.

Егер

,

шарты орындалса, онда түзуі жазықтығында жатады.

Б ұл теореманың дәлелдеуі және бұрыштарының қосындысы болатына негізделген. Мұнда – түзудің бағыттаушы векторы, ал – жазықтықтың нормаль векторы (Сурет 3.14).

L





Рис. 3.14

Сондықтан, ;  || ; ||  .

Мысал 4.

түзуі мен жазықтығы арасындағы бұрыш синусын және олардың қиылысу нүктесін табу керек.

және болғандықтан

.

Ал олардың қиылысу нүктесін анықтау үшін сәйкес теңдеулерден құрастырылған төрт белгісіздері бар теңдеулер жүйесін қарастырамыз:

.

Осыдан

_{ } .

Олай болса . Табылған сандар қиылысу нүктесінің координаталары: .

4. Екі параллель емес жазықтықтар кеңістікте қиылысу арқылы түзуді анықтайды. Сондықтан, екі жазықтық теңдеулерінен құралған жүйені кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеуі деп аталады:

.

Түзудің жалпы теңдеуінен оның канондық теңдеуін немесе параметрлік теңдеуін алу үшін келесі амалдарды қолданады:

а) Жазықтықтардың және – нормаль векторлары бойынша түзудің бағыттаушы векторын және оның бойында жататын қайсыбір нүктені анықтап, бізге қажет теңдеуді жазамыз.

б) Көрсетілген үш айнымалысы бар екі теңдеулер жүйесін Гаусс тәсілімен шешіміз. болғандықтан жүйенің мәртебесі екіге тең, сондықтан оның шешімі бір параметріне тәуелді болады, яғни біз түзудің параметрлік теңдеуін аламыз.

Мысал 5. Жалпы теңдеумен берілген түзудің параметрлік және канондық теңдеулерін жазу керек:

.

Жүйенің кеңейтілген матрицасын үшбұрышты түрге келтіріп, түзудің параметрлік теңдеуін аламыз:

~

.

- түзудің нүктесі және бағыттаушы векторы болғандықтан, оның канондық теңдеуі былай жазылады:

.