Теорема (нормаль векторы туралы). Жазықтығында жалпы теңдеуімен берілген түзуінің нормаль векторының координаталары болады.

Дәлелдеуі. Айталық және нүктелері түзуі бойында жатсын (Сурет 2.4), яғни келесі теңдіктер орындалсын: және .

Бірінші теңдеуден екіншісін шегереміз:

.

Олай болса

,

скалярлық көбейтіндісі нөлге тең, яғни және (Сурет 3.5).

Мысал 5. теңдеуімен берілген түзудің нормаль векторын табу керек.

Ол берілген теңдеуді келесі түрге келтіреміз: . Осыдан .

Салдар 1. және түзулері арасындағы бұрышының косинусы және нормаль векторлары арасындағы бұрыш косинусы ретінде анықталады:

.

M₀

M₁

L Сурет 3.5

Салдар 2. және түзулерінің перпендикулярлық шарты:

Салдар 3. және түзулерінің параллельдік шарты:

.

Егер

,

теңдігі орындалса, онда және түзулері өзара беттеседі (Бұл теңдіктерді пропорцияналдық теңдік ретінде қарастыру керек, яғни бөлшектердің алымдары мен бөлімдерінде нөлдер жазылуы мүмкін).

Салдарлардың дәлелдеуі қарастырылған түзулер мен олардың және нормаль векторлары арасындағы бұрыштар бірдей болатынына сүйенеді (Сурет 3.6).

Мысал 6. және түзулері арасындағы бұрышты табу керек.

Мұнда , және , олай болса, бұл түзулер өзара перпендикуляр.

6. Айталық түзуі нүктесі арқылы өтіп векторына перпендикуляр болсын, онда бұл түзудің теңдеуі былай жазылады:

.

Б ұл нормаль вектормен берілген түзу теңдеуі.

L₂





L₁

Рис. 3.6.

Бұл теңдеуді түзу бойындағы векторлар мен векторының перпендикуляр болуы шартынан шығады.

Мысал 7. түзуі мен нүктесі берілсін. нүктесі арқылы өтетін және түзулері теңдеуін жазу керек, мұнда || , ал .

Айталық , – векторлары , түзулерінің нормаль векторлары болсын. || болғандықтан деп алуға болады. Нормаль векторы болатын және нүктесі арқылы өтетін түзу теңдеуін жазалық (бұл түзуінің теңдеуі):

болғандықтан, || , олай болса векторы түзуінің бағыттаушы векторы. Сондықтан бұл түзудің теңдеуі былай жазылыды:

6. Айталық түзуі координаталар бас нүктесі арқылы өтпей және өстерін сәйкесінше және нүктелерінде қиып өтсін. Онда түзу теңдеуі былай жазылады:

.

Бұл теңдеуді түзудің кесінділік теңдеуі деп атайды (Сурет 3.6).

Y

O

Сурет 3.7.

Түзудің кесінділік теңдеуі оның графигін жылдам салуға мүмкіндік береді.

Мысал 8. Түзудің теңдеуін оның кесінділік теңдеу түріне келтірелік:

Олай болса және түзу өсін (-3;0) нүктесінде, ал болғандықтан өсін (0;-2) нүктесінде қиып өтеді.

6. Айталық түзуі координаталар бас нүктесі арқылы өтпесін және нүктесінен түзуіне дейінгі қашықтық -ға тең болсын, ал - координаталар бас нүктесінен түзуге қарай бағытталған бірлік нормаль вектор болсын. Онда және – осы нормаль вектордың бағыттаушы косинустары болады (Сурет 3.7).

Y

N

 M



X

O L

Рис. 3.8.

Айталық – нүктесінің түзуіне түсірілген проекциясы болсын, онда және – осы түзудің кез келген нүктесі болсын. Онда

.

Осыдан келесі теңдеуді аламыз:

.

Оны түзудің нормаль теңдеуі деп атайды. Мұнда теңдеудің бос мүшесі үнемі теріс (– ), ал , өйткені – бірлік вектор.

Сондықтан, түзудің жалпы теңдеуін нормальдық теңдеу түріне келтіру үшін бұл теңдеуді санына көбейтсе жеткілікті, мұнда таңбасы С-ның таңбасына қарама-қарсы етіп алынады.

Мысал 9. түзуінің нормальдық теңдеуін жазу керек.

Мұнда

.

Берілген теңдеуді осы санға көбейтіп келесі теңдеулі аламыз:

,

бұл түзудің нормальдық теңдеуі. Мұнда , ; .

Теорема. нүктесінен түзуіне дейінгі қашықтық келесі формуламен анықталады:

.

Дәлелдеуі. Айталық – нүктесінің түзуіндегі проекциясы болсын (Сурет 3.9).

Онда

Если прямая задана своим общим уравнением, то его предварительно необходимо умножить на . Отсюда получаем следующее следствие.

Салдар. Расстояние от точки до прямой определяется формулой

.

Мысал 10. нүктесінен түзуіне дейінгі қашықтық мынаған тең:

.

Y

N

M₁

M₀

O X

Сурет 3.9.

Анықтама. шамасы нүктесінің түзуінен ауытқуы деп аталады.

Соңғы теореманың дәлелдеуінен түзуінің жазықтығын екі жарты жазықтыққа бөлетіні және оның бір бөлігінде мәні оң болып, ол қашықтығымен беттесетіні, ал екінші бөлігінде теріс болып, теңдігін қанағаттандыратынын көреміз.

Мысал 11. Егер болса, онда кесіндісі түзуін қиып өте ме?

нүктесінің түзуінен ауытқуы:

.

нүктесінің түзуінен ауытқуы:

.

Екі ауытқу да оң, сондықтан және нүктелері түзуінің бір жақ бөлігінде орналасқан, яғни кесіндісі түзуімен қиылыспайды.