§ 3.2. Кеңістіктегі жазықтық

Кеңістіктегі жазықтық теңдеулерінің барлық түрлері аздаған өзгеріспен жазықтық бойындағы түзу теңдеулерін қайталайды. Бұл салыстыруларды өз беттеріңше орындаңдар.

1. Айталық жазықтығы кеңістігінде өсін координатасы болатын нүктеде қиып өтсін, ал және жазықтықтарымен қиылысуынан пайда болатын түзулердің осы жазықтықтардағы бұрыштық коэффициенттері сәйкесінше және болсын (Сурет 3.10). Онда бұл жазықтықтың теңдеуі былай жазылады:

.

Бұл жазықтықтың бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуі. Осындай теңдеумен өсіне параллель емес кез келген жазықтығының теңдеуін жазуға болады.

2. Анықтама. жазықтығына параллель коллинеар емес және векторлары осы жазықтықтың бағыттаушы векторлары деп аталады. Бұл векторлар жазықтықтың базистік векторлары болады. Эти векторы являются базисными векторами плоскости. Айталық = және = болсын.

₁

₂

O Y

X Сурет 3.10.

Айталық - Р жазықтығының белгіленген нүктесі, ал - оның кез келген ағым нүктесі болсын (см. рис.3.10).

Z

M₀ M

P

O Y

X Сурет 3.11.

базисінде векторының координаталарын арқылы белгілейік, яғни

.

Онда теңдігінен келесі теңдікті аламыз:

,

бұл Р жазықтығының векторлық теңдеуі деп аталады. Мұнда .

2. Егер жазықтықтың вкторлық теңдеуін координаталық түрде жазып келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

Бұл теңдеулер жүйесін жазықтықтың параметрлік теңдеуі деп аталады.

3. , , - векторлары компланар болғандықтан, олардың аралас көбейтіндісі нөлге тең:

,

Бұл теңдік координаталық түрде былай жазылады:

Бұл теңдеу жазықтықтың бағыттаушы векторармен берілген теңдеуі деп аталады.

Мысал 1. нүктесі арқылы және векторларына параллель жазықтық теңдеуі былай жазылады:

.

Бұл анықтауышты бірінші жолы бойынша жіктеп келесі теңдуді аламыз:

.

5. Айталық жазықтығы , және нүктелері арқы лы өтсін. Онда және векторлары жазықтығының бағыттаушы векторлары болады және бағыттаушы векторларымен берілген теңдеу бойынша келесі теңдеуді аламыз:

.

Бұл теңдеу берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтық теңдеуі.

Мысал 2. , және нүктелері арқылы өтетін жазықтық теңдеуін жазу керек:

Алдыңғы формула бойынша келесі теңдеуді аламыз:

Осы теңдеумен берілген жазықтық нүктелері арқылы өтетінін тексеру қиын емес. Ол үшін бұл нүктелердің координаталарын алынған теңдеуге қойып, теңбе теңдік алынатынын тексереміз:

6. Үшінші бапта алынған теңдеуді бірінші жол бойынша жіктеп, келесі теңдеуді аламыз:

Мұнда

формуладағы анықтауыштың бірінші жолы элементтерінің алгебралық толықтауыштары. −ді арқылы, −ні арқылы, −ті арқылы, а өрнегін арқылы белгілеп, келесі теңдеуді аламыз:

.

Мұны жазықтықтың жалпы теңдеуі деп атайды. Келесі теорема осы атауды негіздейді.

Теорема. Кез келген жазықтығы кеңістігінде өзінің жалпы теңдеуімен анықталады, және кез келген , (мұнда ), түрінде берілген сызықты теңдеу кеңістікте қайсыбір жазықтықты анықтайды.

Алдында бұл теореманың бірінші жартысының негіздемесін көрсеттік. Ал оның екінші жартысын дәлелдеусіз келтіреміз. Тек мұнда әртүрлі сызықты теңдеулер бір жазықтықты анықтауы мүмкін екенін ескертеміз.

Анықтама. жазықтығына перпендикуляр векторын осы жазықтықтың нормаль векторы деп атайды.

Теорема (нормальном вектор туралы). = векторы

теңдеуімен берілген жазықтығының кеңістігіндегі нормаль векторы болады.

Бұл теорема жазықтығы түзулердің сәйкес теоремасы сияқты дәлелденеді.

Мысал 3. векторы жазықтығының нормаль векторы болады.

Салдар 1. және

жазықтықтары арасындағы бұрышы осы жазықтықтардың және нормаль векторлары арасындағы бұрыш формуласымен анықталады:

.

Салдар 2. Қарастырылған жазықтықтардың перпендикулярлық шарты былай жазылады:

.

Салдар 3. Осы жазықтықтардың параллелдік шарты былай жазылады:

.

Егер теңдігі орындалса, онда және жазықтықтары беттеседі.

Мысал 4. және түзулері арасындағы бұрышы косинусын табу керек.

Мұнда , , сондықтан

.

векторы мен коэффициенті жазықтығының координаталық өстерге қатысты орналасуын бағалауға мүмкіндік береді. (Барлық теңдеулердегі коэффициенттері нөлден ерекше деп саналады).

а) Егер болса, яғни жазықтығының теңдеуі былай жазылса:

онда || . Бұл қатынасынан шығады. теңдеуімен берілген жазықтық өсі арқылы өтеді, себебі координаталары болатын өсінің кез келген нүктесі осы теңдеуді қанағаттандырады.

в) жазықтығы өсіне параллель, ал жазықтығы өсі арқылы өтеді.

с) жазықтығы өсіне параллель, ал жазықтығы өсі арқылы өтеді.

d) жазықтығы жазықтығына параллель, себебі .

е) жазықтығы жазықтығына параллель.

f) жазықтығы жазықтығына параллель.

g) жазықтығы координаталар бас нүктесі арқылы өтеді.

7. Айталық жазықтығы нүктесі арқылы өтіп векторына перпендикуляр болсын. Жазықтық бойынан кез келген M(x,y,z) нүктесін алып, = векторын аламыз. Онда және векторлары өзара перпендикуляр, яғни =0. Онда

.

Бұл жазықтықтың нормаль векторымен жазылған теңдеуі.

Мысал 4. жазықтығы және нүктесі берілген. || болатын және нүктесі арұылы жазықтығының теңдеуін жазу керек.

|| болғандықтан, векторы екі жазықтықтың да нормаль векторы болады. Сондықтан, алдыңғы формула бойынша мына теңдеуді аламыз:

.

8. Айталық, жазықтығы координаталар бас нүктесі арқылы өтпесін және өстерін және нүктелерінде қиып өтсін. Онда бұл жазықтық теңдеуі былай жазылады: .

Бұл жазықтықтың кесінділік теңдеуі деп аталады (Сурет 3.12).

Z

0

Y

X

Сурет 3.12

Мысал 5. теңдеуін кесінділік теңдеу түріне келтірелік:

Олай болса бұл жазықтық координаталық өстерді нүктелерінде қиып өтеді.

9. Айталық жазықтығы координаталар бас нүктесі арқылы өтпейтін болсын және нүктесінен жазықтығына дейінгі қашықтық –ға тең, және – О нүктесінен Р жазықтығына қарай бағытталған бірлік нормаль вектор, ал – оның бағыттаушы косинустары болсын. Онда бұл жазықтықтың теңдеуі былай жазылады:

.

Бұл жазықтықтың нормаль теңдеуі.

Жазықтықтың жалпы теңдеуінен оны

өрнегіне көбейту арұылы алынады, мұнда таңбасы таңбасынаберется қарама қарсы етіп алынады.

Мысал 6. жазықтығының нормаль теңдеуі былай жазылады:

.

Мұнда

.

Теорема. нүктесінен жазықтығына дейінгі қашықтық келесі формуламен аныұталады:

.

Мысал 7. жазықтығына параллель және одан қашықтығында өтетін және жазықтықтарының теңдеуін жазу керек.

Қашықтық формуласы бойынша келесі теңдікті аламыз:

Олай болса

Анықтама. өрнегін нүктесінің жазықтығынан ауытқуы деп атайды.

жазықтығы кеңістіктң екі жартыжазықтыққа бөледі, оның бірінде оң болып қашықтығымен беттеседі, ал екінші жартысында жіне теңдігі орындалады. Бұл жартыжазықтықтар сәйкесінше келесі теңсіздіктермен анықталады:

және .

жазықтығының кез келген нүктесінен бастап салынған нормаль векторы теңсіздігі орындалатын жартыжазықтыққа қарай бағытталады.