Преобразование произвольной формулы логики предикатов первого порядка в клаузальную форму

Применение обобщенного правила резолюции требует представления формул в клаузальной форме. Покажем, с помощью ка­ких эквивалентных преобразований любая произвольная формула логики предикатов первого порядка может быть преобразована в клаузальную форму. Процедуру преоб­разования представим в вид е от­дельных шагов.

1.Исключение импликаций

Из логики высказываний известно, что Поэтому на пер­вом шаге по­мощью этой формулы исключаем все импликации.

2. Перемещения знака отрицания ( ) непосредственно к атомам

В клаузах отрицание допустимо только перед атомами. Поэтому исполь­зуя следующие законы Де Моргана, эквивалентности кванторов и двой­ного от­рицания, перемешаем знаки отрицания непосредственно к атомам

3. Переименование переменных

Во всех формулах, в которых встречаются кванторы, использующие одни и те же связанные переменные, как, например, в формуле переименовать связанные переменные таким образом, чтобы они были инди­видуальными для каждого квантора. Например, для нашего примера это мо­жет быть использование переменной у вместо переменной х для квантора существования. В результате получится формула

4. Перемещение кванторов влево

После предыдущего шага, в результате которого каждый квантор исполь­зует свои связанные переменные, обозначения которых не совпадают с перемен­ными других кванторов, все кванторы могут быть перемещены влево. Так. например, простая формула после перемещения квантора влево примет вид .

5. Сколемизация.

Сколемизацией называется специфический прием удаления кванторов суще­ствования. В простейшем случае - это просто замена формулы на формулу , где А является константой, ранее не встречавшейся. В об­щем случае, когда переменная, связываемая квантором существования, встречается в каком-либо литерале вместе с переменными, связанными кван­тором общности, приходится, для того, чтобы избавиться от кван­тора общно­сти, вводить специальную функцию, зависящую от перемен­ных, связанных квантором общности, вместо переменной, связанной квантором существова­ния. Так, например, если имеем формулу

то в этой формуле литерал может означать, например, наличие неко­торого свойства, именуемого предикатным символом , у объекта, име­нуе­мого переменной у, а литерал - соответствие каждому объекту, обо­значенному переменной х, некоторого объекта, обозначенного пере­мен­ной v. Объект, обозначенный переменной v, определяется в этом слу­чае зна­чением переменной х и может быть заменен на ранее не встречав­шуюся функцию F(x), называемую обычно функцией Сколема. После та­кой замены квантор существования может быть удален, а формула при­обретает вид

6. Распеределение конъюнкций относительно дизъюнкций

Это распределение осуществляется на основе использования дистрибу­тив­ного закона

7. Перемещение скобок к концу и началу

На этом шаге формулы со скобками типа или приво­дятся соответственно к виду или . После этого шага исходная формула преобразуется в нормальную конъюнктивную форму, яв­ляющуюся конъюнкцией дизъюнкций литералов. Каждая дизъ­юнкция лите­ралов является клаузой.

Пример выполнение задания 1. Преобразовать заданную форму в пред­варенную нормальную форму, а затем привести к стандартному виду:

x(y(P|(x,y) (zR(x) & F(z) Q|(x)))

1. Исключение импликации  и эквивалентности ↔

по правилам:

А В=А| V B

А↔B=(AB)&(BA)=( А| V B)&(B| V A)

x(y(P|| (x,y) V (zR(x)&F (z) = Q| (x))))

x(y(P||(x,y) V (zR(x)&F| (z) V Q| (x))))

2. Исключение отрицания над формулами

по правилам:

(A V B)| = A| & B|

(A & B)| = A| V B|

A|| =A

(xA)| = xA|

(xA)| = xA|

x(y(P(x,y) V (zR(x)&F| (z) V Q| (x))))

3. переименование переменных

по правилам:

xP(x) V xQ(x)= xP(x) VyQ(y)= xy(P(x) V Q(y))

xP(x) ^ xQ(x) = xP(x) ^ yQ(y) = xy(P(x)^Q(y))

Не применили

4. Вынесение кванторов в предикатную часть

xyz (P(x,y) V (R(x)&F| (z) V Q| (x))))

5. Исключение кванторов существования

по правилам:

а) слева от  отсутствует 

xP(x) = P(b), b=const

б) слева от З присутствует 

xyP(x,y) = xP(x,f(x)) [y=f(x)] - Cкулежа

Z=f(y)

xy(P(x,y) V (R(x)&F| (f(y)) V Q| (x))))

6. Приведение к коньюнктивной нормальной форме

по правилу:

C V (A&B) = (C V A) & (C V B)

xy ((P(x,y) V R(X)) & (P(x,y) V P| (f(y)) V Q| (x)))

7. Исключение :

Опускаем xy

(P(x,y) V R(x)) & (P(x,y) V F| (f(y)) V Q| (x))

8. Исключение конъюнкции (&)

P(x,y) V R(x)

P(x,y) V F| (f(y)) V Q| (x)

Пример выполнения задание2. Записать в символьном виде заданное предложение:«Все условия оплаты по закону отличаются от условий оп­латы, предложенным малым предприятием».

Введем обозначения:

X – условия оплаты по закону

х – конкретное условие оплаты по закону

У – условия оплаты, предложенные малым предприятием

у – конкретное условие оплаты, предложенное малым предприятием

P(y) – условие оплаты является условием предложенным малым пред­приятием

P(x) – условие оплаты является условием оплаты по закону

Q(x,y) – условие х отличается от условия у

Тогда выражение в символьном виде будет иметь вид:

xy ((P(x) & P(y))→ Q(x,y))

Задание к лабораторной работе №2

Вариант 1

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

x(y(z P(x,y, z) & (v Q(x,v)  v Q(y,v))))

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Каждое рациональное число- есть действительное число».

Вариант 2

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

________________________

xy(P(x,y) (z Q(z)  R(x))).

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Не все студенты получают стипендию».

Вариант 3

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

xy(P(x,y) (z Q(z)  R(x))).

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Некоторые клиенты банка не возвращают кредит».

Вариант 4

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

____ ___

x(y(P(x,y) (zR(x)&F(z)Q(x)))).

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Банк выдает кредит некоторым клиентам под 30 % годовых».

Вариант 5

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

________________________

x(y(P(x,y) (z Q(z)  R(x))).

2. «Существуют бухгалтера, которые ошибаются в расчетах».

Вариант 6

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

_____________________

xy(P(x,y) (z Q(z)  R(x))).

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Все вкладчики простого вклада могут снять свои сбережения в любое время».

Вариант 7

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму, а затем привести к стандартному виду:

________________________

x(y(P(x,y) (z Q(z)  R(x))).

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Некоторые платежные поручения задерживаются при прохождении че­рез РКЦ».

Вариант 8

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму, а затем привести к стандартному виду:

________________________

x(y(P(x,y) (z Q(z)  R(x))).

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Все малые предприятия должны пройти перерегистрацию в налоговой полиции и в министерстве юстиции».

Вариант 9

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

________________________

x(y(P(x,y) (z Q(z)  R(x)))

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Некоторые малые предприятия скрывают свои доходы».

Вариант 10

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

______________________

x(y(P(x,y) (z Q(z)  R(x))).

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Практически любую базу можно построить в FOXPRO и применить для решения экономических задач ».

Вариант 11

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

____ __________

x(y(P(x,y) (z Q(z)  R(x))).

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

« Все обменные пункты обменивают доллар по курсу 1:29».

Вариант 12

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

_____________

xyv(P(x,y,v) (z Q(z)  R(z))).

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Все условия оплаты по закону отличаются от условий оплаты , предло­женных малым предприятием ».

Вариант 13

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

__________

xy(P(x,y) (z Q(z)  R(x))).

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Налоговая полиция ищет фирму, которая присвоила деньги, не запла­тив налоги на прибыль ».

Вариант 14

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму , а затем привести к стандартному виду:

________

x(y P(x,y) (z Q(z)  R(x))).

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«У каждого солидного клиента банка имеется валютный счет , который заморожен на ближайшие полгода ».

Вариант 15

1. Преобразовать заданную форму в предваренную нормальную форму, а затем привести к стандартному виду:

________ ____

y(x P(x,y) ((z Q(z)  R(x))VF(z)))

2. Записать в символьном виде заданное предложение:

«Все клиенты коммерческого банка потеряли свои вклады на 20 % и не смогли расплатиться со своими поставщиками».

Контрольные вопросы

1. Что предоставляет логика предикатов?

2. Что называется предикатом?

3. Что является аргументом?

4. Для чего используются кванторы?

5. Для чего используются кванторы?

6. Приведите стандартные кванторы и их интерпретацию?

7. Приведете пример описания с помощью логики предикатов 1-го по­рядка базы знаний

8. В чем заключается правило вывода modus penons?

9. Суть и назначение методы резолюции?

10. Этапы приведения произвольной формулы логики предикатов 10го порядка к клазуальной форме.

Список литература

1. Адаменко А.Н. От логики к программированию и программирование на основе логики // Компьютерные этюды Петербурга, №2, 1994.-С.53-59.

2. Мельников В.Н. Логические задачи. М., 1982.

3. Упражнения по логике .М. , 1990.

28