Контрольные вопросы

1. Основные формы мысли в формальной логике

2. Что называют понятием? Из каких аспектов оно состоит?

3. Что называют суждением? Из каких элементов оно состоит?

4. Что называют умозаключением? Какие виды умозаключений сущест­вуют?

5. В чем суть индукционных и редукционных методов?

6. В чем суть аналогии?

7. Перечислите основные законы построения мыслей. В чем смысл каж­дого из них?

8. Дайте определение синтаксиса, семантики, фактической истины?

9. Логические операции.

10. Таблицы истинности. Назначение. Примеры.

11. Способы решения логических задач.

Лабораторная работа №2 Основы логики предикатов первого порядка.

Цель работы:

1. Изучение основных понятий логики предикатов первого порядка.

2. Изучение методом представления знаний .Метод резолюции.

3. Приобретения навыков приведения произвольной формулы логики предикатов первого порядка к клазуальной форме.

Теоретический материал

Основу логического программирования положена логика исчисления предикатов первого порядка.

Логика предикатов предоставляет нам набор синтаксических правил, позволяющих выполнить такой анализ, набор семантических правил, с по­мощью которых интерпретируются эти выражения, и теорию доказательств, которая позволяет вывести правильные формулы, используя синтаксические правила дедукции. Предикатами обозначаются свойства, такие как "быть че­ловеком", и отношения, такие как быть "выше, чем".

Аргументы могут быть отдельными константами, или составным вы­ражением "функция-аргумент", которое обозначает сущности некоторого мира интересующих нас объектов, или отдельными квантифицируемыми пе­ременными, которые определены в этом пространстве объектов. Специаль­ные операторы — кванторы — используются для связывания переменных и ограничения области их интерпретации. Стандартными являются кванторы общности () и существования (). Первый интерпретируется как "все", а второй — "кое-кто" (или "кое-что").

Опишем с помощью логики исчисления предикатов первого порядка базу знаний, определяющую понятие натурального числа. Воспользуемся следующими предикатами:

E(x, y) – числа x и y равны между собой

f(x) – число, следующее за числом x

g(x) – число, предшествующее числу x

1. За каждым числом существует другое

А (х) (( у) (Е(у, f (x))) z) (E(z, f (x)))E (y, z)

2. Нуль является крайним числом

А ~ (x) (E(0, f (x)))

3. Существует один предыдущий элемент для всех чисел кроме нуля.

А (х)(~E(x,0)((y) (E(y, g(x))  (z) (E(z, g(z))  E(y, z)))

Использование правила вывода modus ponens позволяет показать возмож­ность достижения цели – доказательства теорем. На практике обычно ис­пользуется более эффективные с точки зрения вывода методы доказательства теорем.

Один из таких методов – метод резолюции [3] – позволяет реализовать на практике концепцию логического программирования, согласно которой вычислительная программа может быть записана при помощи логических формул, играющих роль аксиом, а её вычисление представлено в виде дока­зательства формулы-запроса.

Открытие Робинсоном (1965) правила резолюции позволило разрабо­тать эффективные процедуры доказательства в логике I порядка и представ­ляет собой значительный шаг на пути практического применения автомати­ческого доказательства теорем, поскольку резолюция обладает важными свойствами корректности и полноты.

Правило резолюций в простейшем случае имеет вид A, A  B => B,результат называется резольвентой, а само правило modus tollens.

Для доказательства выводимости некоторой формулы G из формул F₁, F₂, ..., F_n, достаточно доказать истинность формулы F₁  F₂ ...  F_n  G.

Теорема. F₁  F₂ ...  F_n  G <=> F₁  F₂ ...  F_n   G – противоречиво

То есть для доказательства G достаточно опровергнуть G. Это так называе­мое доказательство от противного или reductio ad absurdum.