9) Расскажите о правилах построения отрицания высказываний.

Отрицание высказывания с квантором (общности или существования) можно построить двумя способами:

1) перед данным высказыванием ставятся слова «неверно, что» (н-р, «все двузначные числа делятся на 5»-ложное высказывание, его отрицание — <неверно, что все двузначные числа делятся на 5»-истинное высказывание);

2) квантор общности (существования) заменяется квантором существования (общности), а предложение, стоящее перед квантором, заменяется его отрицанием. (н-р, «все двузначные числа делятся на 5», заменим квантор общности на квантор существования, а само предложение — на его отрицание, получим: «существуют двузначные числа, которые не делятся на 5»

Пример. Сформулируем отрицание для высказываний: все элементы множества Z четные; b) некоторые глаголы отвечают на вопрос «что делать?».

Решение: а) Заменим квантор общности квантором существования, а высказывание его отрицанием: некоторые элементы множества Z нечетные.

b) Заменим квантор существования квантором общности, а выражение его отрицанием: все глаголы не отвечают на вопрос «что делать?».

10) В каком случае устанавливается отношение следования между высказываниями А и В? Из высказывания A логически следует высказывание B если невозможно, чтобы в случае истинности A ,B оказалось бы ложным.

11) В каком случае можно утверждать, что между предложениями есть отношение равносильности? равносильными, если они имеют одну и ту же истинность при любых предположениях об истинности и ложности, то есть если из А следует В и из В следует А, то высказывания равносильны.

12) Дайте определение аксиомы. Приведите примеры математических предложений выраженных аксиоматическими определениями. Аксиома - суждение, которое считают истинным, которое при построении какой-либо теории принимается без доказательства в качестве исходного положения и которое кладется в основу доказательства всех других положений этой теории. «Единица есть натуральное число, предшествующее всем другим натуральным числам». «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие прямой».

13) Дайте определение теоремы. Каким образом устанавливается истинность выраженных в виде теорем, следствий, признаков? Теорема - утверждение, устанавливаемое при помощи доказательства, основанного на аксиомах и (или) ранее доказанных утверждениях. В математической логике - преложение аксиоматической теории, выведенное на основе правил этой теории.

14) Какие высказывания называются обратными? Противоположными? Обратные противоположным? Отрицающие друг друга высказывания называются противоположными.

15) Каковы способы доказательства истинности высказывания?

Доказательства по форме делятся на прямые и (косвенные).

Прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству утверждаемого тезиса, то есть истинность доказательства непосредственно обосновывается аргументами. Широко используется прямое доказательство в статистических отчетах, в различного рода документах, в постановлениях.

Непрямое (Косвенное) доказательство — это доказательство, в котором истинность выдвинутого тезиса обосновывается путём доказательства ложности утверждаемого антитезиса. Оно применяется тогда, когда нет аргументов для прямого доказательства. Косвенные доказательства делятся на два вида – апагогическое (доказательство от «противного») и разделительное доказательство (методом исключения)

Методы доказательств: метод перебора, метод от противного, метод математической индукции