1.2. Векторная интерпретация и комплексное представление

гармонических колебаний. Фазовая плоскость

Векторная интерпретация. При решении многих задач, связанных с изучением колебательных процессов, удобно использовать следующую геометрическую интепретацию гармонических колебаний.

Гармоническое колебание (1.1) будем изображать вектором S, длина которого равна амплитуде колебания a, a угол между вектором и горизонтальной осью х — началь-

начальной фазе колебания φ (рис. 1.2).

рис 1.2

При этом частота ш гармонического колебания предполагается заданной. Смысл такого представления состоит в следующем. Вообразим, что вектор S вращается вокруг точки О с угловой скоростью ω против часовой стрелки, а мы сделали мгновенную фотографию в момент времени t = 0, когда угол наклона вектора Ф(t) = ωt + φ равен φ.

Заметим, что проекция вектора S на ось х при вращении изменяется по закону

x(t) = a cos (ωt + φ),

т. е. совершает гармонические колебания. При этом проекция вектора на ось у меняется по закону

y(t) = a sin(ωt + φ),

т. е. также изменяется по гармоническому закону с фазовым сдвигом π/2:

sin a = cos(a - π/2).

Геометрическое изображение гармонического колебания S(t) в виде вектора S удобно использовать при решении задачи сложения колебаний. Пусть мы имеем две скалярные величины S₁ и S₂, изменяющиеся по гармоническому закону с одинаковой частотой ио\

S₁ (t) = a₁ cos(ωt + φ₁),

S₂(t) = a₂ cos(ωt + φ₂)-

Необходимо найти колебание S(t) (скалярную величину), являющуюся суммой колебаний S₁ (t) и S₂ (t):

S(t) = S₁(t) + S₂(t). (1.6)

Изобразим колебания S₁(t) и S₂(t) в виде векторов S₁ и S₂ (рис. 1.3). Изобразим также суммарный вектор S. Векторы S₁, S₂ и S образуют треугольник, причем внешний угол треугольника ∆φ равен разности фаз колебаний S₂ и S₁. Представим себе, что векторы S₁ и S₂ вращаются с одной и той же угловой скоростью против часовой стрелки. Ясно, что угол ∆φ между векторами S₁ и S₂ остается при таком вращении неизменным, и суммарный вектор S повернется через время t (как и S₁ и S₂) на угол ωt — т. е. весь треугольник векторов вращается как целое. (На рис. 1.3 пунктиром показано положение векторов в момент времени t. Причем очевидно, что проекция суммарного вектора S на ось х в произвольный момент времени t равна сумме проекций

векторов S₁ и S₂

a cos(ωt + φ₁) =

a₁ cos(ωt + φ₁) + a₂ cos(ωt + φ₂)

здесь а - длина вектора S, а φ его угол наклона при t=0

Рис. 1.3

Сумма гармонических колебании одинаковой частоты является гармоническим колебанием той же частоты. Амплитуда а суммарного колебания может быть найдена из треугольника векторов (по теореме косинусов):

а² = а₁² + a₂² +2a₁a₂ cos ∆φ (1.7)

где ∆φ= φ₂ - φ₁ — разность фаз складываемых колебаний.

Заметим, что во многих случаях измеряемой величиной является величина, пропорциональная квадрату амплитуды колебания,

которая называется интенсивностью

I = а².

Из (1.7) следуют важные частные случаи:

1. Амплитуды слагаемых колебаний равны: а₁ = a₂ = а₀. Тогда:

а₂ = 2a_l(l + cos ∆φ). (1.8)

2. Разность фаз слагаемых колебаний равна 2πn. Такие колебания называются синфазными. При ∆φ =2πn находим из (1.7):

а=а₁ + a₂

Амплитуда суммарного колебания при этом максимальна и равна сумме амплитуд слагаемых колебаний. (При ∆φ = 0 на векторной диаграмме мы получим два коллинеарных вектора S₁ и S₂ и длина суммарного вектора просто равна сумме длин слагаемых векторов.)

1.Разность фаз слагаемых колебаний равна (2n + 1)π. Такие колебания называют противофазными. При ∆φ = (2n + 1)π получаем из (1.7)

а² = (a₁ - а₂)².

При равных амплитудах а₁ = а₂ имеем в этом случае а = 0, т. е. колебания

«гасят» друг друга. На векторной диаграмме получаем два противоположно

направленных вектора S₁ и S₂.

На рис. 1.4 представлен график зависимости интенсивности I суммарного колебания от разности фаз ∆φ слагаемых колебаний (1.7).

Фазовая плоскость. При изучении колебаний полезным оказывается ражение колебательного процесса на фазовой плоскости. Координаты на фазовой плоскости — величина S (ось абсцисс) и производная по времени S (ось ординат). В каждый момент времени t с помощью соотношений

S = a cos(ωt + φ)

S' = - а sin(ωt + φ) (1.9)

можно найти значения S и S' и, следовательно, положение точки М на фазовой плоскости, изображающей состояние колебательной системы в данный момент времени. С течением времени величины S и S' изменяются (в соответствии с (1.9)), изменяется, следовательно, и положение изображающей точки, которая описывает так называемую фазовую траекторию. Уравнение фазовой траектории гармонического колебательного процесса легко найти, исключая из уравнения (1.9) время t:

S²/a² + S'²/(ωa)² = 1. (1.10)

Согласно (1.10), фазовая траектория гармонического колебания - эллипс с полуосями а и ωа.

На рис. 1.5 а изображено семейство фазовых траекторий, отличающихся амплитудой колебания.

Комплексная форма записи гармонических колебаний. В дальнейшем при исследовании колебаний мы часто будем использовать комплексную форму записи гармонических колебаний. Напомним, что комплексное число z может быть записано в виде

z = x + iy, (1.11)

х = Rez, у = Im z.

Величина

|z| = \/(х² + у²)

называется модулем комплексного числа, а φ = arctg(y/x) — аргументом комплексного числа z. Комплексные числа принято изображать на т. н. комлексной плоскости: комплексному числу z поставим в соответствие точку М, абсцисса которой равна действительной части комплексного числа ж, а ордината — мнимой части у. Вектор, проведенный из начала координат в точку М, является графическим изображением комплексного числа z. Очевидно, длина вектора равна модулю комплексного числа, а угол наклона вектора ср определяет аргумент комплексного числа (рис. 1.6).

Комплексные числа складываются по правилу сложения векторов: сумма

двух комплексных чисел z₁= x₁ +iy₁ и z₂ = x₂ +iy₂ есть комплексное число

z = х + iу, где х = х₁ + y₂, y = y₁ + y₂ (именно такие проекции имеет вектор, равный сумме векторов

S₁ (х₁, у₁) И S₂ (x₂, y₂)

Вспомним теперь о векторном изображении гармонического колебания. Мы отмечали ранее, что гармоническое колебание можно представить как проекцию вращающегося с угловой скоростью и вектора S на ось абсцисс

S(t) = = a cos(ωt + φ).

При этом его проекция на ось ординат меняется по закону S₁(t) = asin(ct;t + φ). Полагая, что S(t) есть действительная часть комплексного числа z, а S₁(t) — его мнимая часть, запишем

z = a cos(ωt + φ) + i a sin(ωt + φ). (1.12)

Или, используя формулу Эйлера

е^iα = cos α + i sin α:

z= ae ^i(ωt+φ) (1.13)

Последнее выражение и представляет собой комплексную форму записи

гармонического колебания, имеющего амплитуду а, частоту и; и начальную

фазу φ. Реальный колебательный процесс S(t) связан с комплексной формой

записи z(t) очевидным равенством

S(t) = Rez(t). (1.14)

Перепишем выражение (1.13), выделив множитель, зависящий от времени е^iωt:

z = ae^iφ e^iωt =ce^iωt

Комплексное число

c = ае^iφ

называется комплексной амплитудой колебания. Она содержит информацию как об амплитуде колебания, так и о начальной фазе.

Напомним в заключение, что числа z₁ и z₂ называются комплексно-сопряэюенными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаком:

z₁ = х + iy, z₂ = х - iу.

Комплексно-сопряженные числа имеют одинаковые модули и аргументы противоположного знака:

z₁=ae^iφ, z₂=ae^-iφ

Тот факт, что числа z₁и z₂ являются комплексно-сопряженными принято

записывать в виде:

z₁ =z₂^*.