2. Модель. Формула алгебры предикатов сигнатуры .
Ряд важнейших понятий алгебры предикатов основывается на понятии модели.
Моделью
называется любое множество M
с заданными на нем предикатами
:
= < M ; >.
Множество M называется основным множеством модели , предикаты – основными предикатами модели , и их набор = < > называется сигнатурой модели . Натуральные числа k1, , kn обозначают арности соответствующих предикатов, а их набор = < k1, , kn > называется типом модели.
Примеры.
N – множество натуральных чисел, E, S, P – определенные на множестве N равенства, сложения и умножения. Модель = < N; E, S, P > является арифметикой натуральных чисел. Ее сигнатура = < E, S, P > и тип = < 2, 3, 3 >.
Любое множество моделей с одной и той же сигнатурой называется классом K моделей сигнатуры .
Определим формулу алгебры предикатов сигнатуры . Так же как и в алгебре высказываний, такое определение является индуктивным.
Если
и
– предметные переменные, то выражение
есть формула. Такая формула называется
атомарной,
в ней все вхождения предметных переменных
называются свободными.Если U есть формула, в которой имеются свободные вхождения переменной xi, то выражения xi (U) и xi (U) – формулы, в которых все вхождения xi являются связанными, а все вхождения остальных предметных переменных такие же, какими они были в формуле U. При этом формула U называется областью действия соответствующего квантора общности или существования.
Если U есть формула, то U – также формула, и все свободные и связанные вхождения предметных переменных в формулу U являются соответственно свободными и связанными вхождениями в формуле U.
Если U и V есть формулы, то выражения (U) (V), (U) (V), (U) (V), (U) ~ (V) также являются формулами, причем все вхождения предметных переменных в этих формулах такие же, как и в формулах U и V.
Формулы могут быть образованы только с помощью правил 1 – 4.
Число скобок в формуле можно уменьшить, если условиться:
не заключать в скобки атомарные формулы и формулы, над которыми записан знак отрицания;
вместо записи
,
где
– некоторые кванторы, допускать запись
;
не использовать скобки, если порядок выполнения операций соответствует приоритету операций, причем приоритет операций утверждения общности и существования наивысший, для остальных операций такой же, как и в алгебре высказываний;
не заключать в скобки подформулы, обозначенные буквами;
не указывать явно с помощью верхнего индекса местность предиката.
Если формула U не содержит свободных вхождений предметных переменных, то используя определения операций, можно вычислить ее логическое значение. В общем случае, если в формуле U есть свободные вхождения предметных переменных, то она не является высказыванием. Но при каждой замене в этой формуле всех свободных вхождений предметных переменных элементами множества M она становится высказыванием, значение которого вычисляется так же, как и в первом случае.
Формула
называется выполнимой
на модели ,
если для некоторой системы элементов
модели
сигнатуры
значение формулы
сигнатуры ,
т.е. высказывание
,
является истинным.
Формула U сигнатуры называется выполнимой, если существует модель сигнатуры , на которой выполнима формула U.
Если высказывание является истинным для любой системы значений , то формула U называется истинной на модели .
Если формула не выполнима на модели , то она называется ложной на модели .
Если формула U истинна на любой модели класса K , то она называется истинной на классе K .